QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
\mathbf{f}(\boldsymbol{x})=\operatorname{sen}(\boldsymbol{x}-\mathbf{a})^{\cos (\boldsymbol{x}-\mathbf{b})}

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha 3 funções do tipo
f(x)=\operatorname{sen}(x-a)^{\cos(x-b)}
e determine o domínio real de cada uma. Vou escolher três casos (valores de a e b) que ilustram os comportamentos típicos desta família:
  1. a=0,\; b=0, isto é \displaystyle f_{1}(x)=\operatorname{sen}(x)^{\cos x}.
  2. a=0,\; b=\dfrac{\pi}{2}, isto é \displaystyle f_{2}(x)=\operatorname{sen}(x)^{\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}=\operatorname{sen}(x)^{\sin x}.
  3. a=\dfrac{\pi}{2},\; b=0, isto é \displaystyle f_{3}(x)=\operatorname{sen}\!\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^{\cos x}=(-\cos x)^{\cos x}.
O objetivo é achar o domínio (conjunto de x\in\mathbb{R} onde a expressão é bem definida como número real) para cada uma dessas três escolhas.

Passo 2

Antes de começar a aplicar ao caso trigonométrico, vamos revisar com calma quando uma potência real y^{z} (com y,z\in\mathbb{R}) é um número real bem definido. Isso é crucial aqui porque a base será \sin(\cdot) e o expoente \cos(\cdot).
Regras importantes (explicadas de forma concreta):
  • Se y>0: então y^{z} está bem definida para todo z\in\mathbb{R}. Formalmente usa-se y^{z}=e^{z\ln y}. Exemplo: 2^{\sqrt{2}} é bem definido.
  • Se y=0: então 0^{z} está bem definido somente quando z>0. Nesses casos 0^{z}=0. Para z=0 temos 0^{0} indeterminado (não é aceito como valor) e para z<0 temos 0^{z} indefinido (divisão por zero).
  • Se y<0: a situação é delicada. Em geral y^{z} não é real para expoentes reais arbitrários. Temos casos em que é real:
    • se z é um inteiro, y^{z} é real (por exemplo (-2)^3=-8).
    • se z é um racional na forma z=\dfrac{p}{q} em fração irredutível com q ímpar, então y^{p/q} pode ser definido como \bigl(\,|y|^{1/q}\,\bigr)^{p} multiplicado pelo sinal apropriado (raízes ímpares de números negativos são reais). Por exemplo (-8)^{1/3}=-2 é real.
    • se z é racional com denominador par (por exemplo 1/2) ou for irracional, em geral y^{z} não é um real bem definido (gera número complexo).
      Resumindo prático: para base negativa é preciso que o expoente tenha uma forma racional especial (denominador ímpar) ou ser inteiro; na prática, quando o expoente é uma função contínua (como \cos) só em pontos isolados ele pode assumir exatamente tais valores racionais especiais.
Vou usar essas regras para analisar os três casos escolhidos.

Passo 3

Caracterização geral aplicável aos três casos (com \sin e \cos):
Denotando B(x)=\sin(x-a) (a base) e E(x)=\cos(x-b) (o expoente), o ponto x pertence ao domínio se e só se uma das situações abaixo ocorre:
  1. B(x)>0. Então B(x)^{E(x)} está definida para todo E(x)\in\mathbb{R}. (base positiva = sem restrição ao expoente).
  2. B(x)=0. Então é preciso E(x)>0 para que 0^{E(x)}=0 esteja definida. Não é permitido E(x)=0 (levanta 0^{0}) nem E(x)<0 (levanta 0 na potência negativa).
  3. B(x)<0. Então só são permitidos E(x) que façam B(x)^{E(x)} real: isso ocorre quando E(x) é um racional p/q numa forma irredutível com q ímpar (ou quando E(x) é inteiro). Se E(x)=0 e B(x)\ne 0 então B(x)^{0}=1 está definido (observe que isto cai no caso B\ne0 e expoente 0 — é permitido).
Também usarei as identidades/tratamentos das zeros e sinais de \sin e \cos:
  • \sin t =0 para t=k\pi (inteiro k).
  • \sin t>0 para t\in(2k\pi,(2k+1)\pi).
  • \sin t<0 para t\in((2k+1)\pi,(2k+2)\pi).
  • \cos t =0 em t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; \cos t>0 em intervalos centrais e \cos t<0 em outros intervalos, conforme conhecido.
Com isso, passo a aplicar essas regras caso a caso, explicando cada escolha.

Passo 4

Caso 1: \displaystyle f_{1}(x)=\operatorname{sen}(x)^{\cos x}.
Análise passo a passo:
  • A base é B(x)=\sin x.
  • O expoente é E(x)=\cos x.
  1. Pontos onde \sin x>0. Esses pontos são
x\in (2k\pi,\,(2k+1)\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.
Em todos esses intervalos a base é positiva, então \sin x^{\cos x} está bem definida para todo x desses intervalos (sem restrição no expoente).
  1. Pontos onde \sin x=0. Esses são x=k\pi.
  • Em x=2k\pi temos \sin x=0 e \cos x=1>0. Então 0^{1}=0 é bem definido. Logo todos x=2k\pi pertencem ao domínio.
  • Em x=(2k+1)\pi temos \sin x=0 e \cos x=-1<0. Então 0^{\,-1} é indefinido (divisão por zero). Portanto esses pontos NÃO pertencem ao domínio.
  • Não existe simultaneamente \sin x=0 e \cos x=0, então 0^{0} não aparece aqui.
  1. Pontos onde \sin x<0. Nesses pontos a base é negativa. Para a potência ser real precisamos que o expoente \cos x seja um número que permita potência de base negativa dar real. Isso ocorre em pontos onde \cos x é:
    • inteiro (isto é \cos x =1,0,-1), lembrando casos:
      • \cos x=1 ocorre em x=2k\pi — já tratado (aí \sin x=0 ou \sin pode ser negativa? em x=0 tem \sin=0; portanto não gera novo ponto).
      • \cos x=0 ocorre em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Se \cos x=0 e \sin x\ne0 então B^{0}=1 está definido; portanto qualquer x com \cos x=0 e \sin x\ne0 pertence ao domínio. Em particular, em x=3\pi/2 temos \sin(3\pi/2)=-1 e \cos(3\pi/2)=0, daí (-1)^{0}=1 definido. Observe que pontos com \cos x=0 e \sin x=0 não ocorrem.
    • ou um racional na forma irredutível p/q com q ímpar. A função \cos x atinge todos os valores em [-1,1] e, portanto, atinge valores racionais com denominador ímpar em infinitos x. Cada tal valor fornece pontos (geralmente uma sequência infinita discreta) onde a potência de base negativa é real. Esses pontos são em geral isolados e dependem da condição \cos x = p/q com q ímpar.
Conclusão para f_{1} (organizando o domínio):
\begin{aligned} \mathcal{D}(f_{1})=\; &\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(2k\pi,\,(2k+1)\pi)\quad\text{(toda região onde \(\sin x>0\))}\\ &\cup\{\,2k\pi:\ k\in\mathbb{Z}\,\}\quad\text{(pontos com \(\sin x=0\) e \(\cos x=1>0\))}\\ &\cup\{\,x:\ \cos x=0\ \}\quad\text{(pois aí o expoente é \(0\) e \(B\ne0\Rightarrow B^{0}=1\))}\\ &\cup\{\,x:\ \sin x<0\ \text{ e }\ \cos x=\tfrac{p}{q}\text{ em forma irredutível com \(q\) ímpar}\,\}. \end{aligned}ãíéíí
Na prática: todos os intervalos onde \sin x>0, mais os pontos x=2k\pi, mais os pontos onde \cos x=0 (esses incluem casos com \sin positivo ou negativo), e ainda certos pontos isolados quando \cos x assume racionais com denominador ímpar (casos em que a potência de base negativa é real).

Passo 5

Caso 2: \displaystyle f_{2}(x)=\operatorname{sen}(x)^{\sin x}.
Aqui o expoente é E(x)=\sin x. Reaplico as regras:
  1. \sin x>0 (mesmos intervalos (2k\pi,(2k+1)\pi)). A base é positiva, então todos esses x estão no domínio sem restrição.
  2. \sin x=0 (isto é x=k\pi). Neste caso a base é 0 e o expoente também é 0 (já que \sin x=0 implica \sin x=0 no expoente): portanto temos 0^{0} em todos os x=k\pi. Isso é indeterminado, logo NENHUM x=k\pi pertence ao domínio de f_{2}. Diferente do caso 1, aqui não há pontos do tipo 0^{\text{positivo}} porque o expoente coincide com a base.
  3. \sin x<0 (base negativa). Para que a potência seja real precisamos que o expoente \sin x seja inteiro ou racional com denominador ímpar, etc. Observações úteis:
    • Em x=3\pi/2 + 2k\pi temos \sin x=-1, expoente -1 (inteiro), base -1: então (-1)^{-1}=-1 é real — esses pontos pertencem ao domínio.
    • Em geral, há muitos x com \sin x assumindo valores racionais com denominador ímpar; cada tal valor gera soluções (infinitas) onde a potência é real.
Conclusão para f_{2}:
\begin{aligned} \mathcal{D}(f_{2})=\; &\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(2k\pi,\,(2k+1)\pi)\quad\text{(onde \(\sin x>0\))}\\ &\cup\{\,x:\ \sin x<0\ \text{ e }\ \sin x=\tfrac{p}{q}\text{ em forma irredutível com \(q\) ímpar}\,\}. \end{aligned}íí
Importante: todos os pontos x=k\pi (onde \sin x=0) são excluídos porque aí aparece 0^{0}.

Passo 6

Caso 3: \displaystyle f_{3}(x)=(-\cos x)^{\cos x}.
Agora a base é B(x)=-\cos x e o expoente E(x)=\cos x. Vou analisar sinais de \cos x:
  1. Quando B(x)>0 isto é -\cos x>0, ou seja \cos x<0. Os intervalos onde \cos x<0 são
x\in\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.
Nesses intervalos a base é positiva, então a potência está bem definida para todo expoente (sem restrição). Portanto toda essa parte pertence ao domínio.
  1. Quando B(x)=0 isto é -\cos x=0 ocorrendo em \cos x=0, isto é x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Nesses pontos a base é 0 e o expoente é \cos x=0, então temos 0^{0}, que é indeterminado. Logo todos os x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi são EXCLUÍDOS do domínio.
  2. Quando B(x)<0 isto é -\cos x<0 ou \cos x>0. Aqui a base é negativa, e vale a regra já discutida: a potência é real quando o expoente \cos x é inteiro ou racional com denominador ímpar (em forma irredutível). Alguns casos particulares:
    • \cos x=1 (ocorre em x=2k\pi): então a potência é (-1)^{1}=-1 real — esses pontos pertencem ao domínio.
    • \cos x=0 já foi excluído (produz 0^{0}).
    • \cos x assumindo certos racionais com denominador ímpar gera pontos (discretos) onde a expressão é real.
Conclusão para f_{3}:
\begin{aligned} \mathcal{D}(f_{3})=\; &\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\bigr)\quad\text{(onde \(\cos x<0\), base positiva)}\\ &\cup\{\,x:\ \cos x>0\ \text{ e }\ \cos x=\tfrac{p}{q}\text{ irredutível com \(q\) ímpar}\,\}\\ &\cup\{\,x=2k\pi:\ k\in\mathbb{Z}\,\}\quad\text{(caso \(\cos x=1\), exemplo já citado).} \end{aligned}ííá
E explicitamente os pontos x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi são excluídos porque dão 0^{0}.

Passo 7

Resumo didático e dicas práticas para a prova (pequena aula de bolso):
  • Sempre verifique primeiro onde a base é positiva: esses intervalos entram automaticamente no domínio. Para \sin(x-a) isso significa x\in(a+2k\pi,a+\pi+2k\pi).
  • Verifique zeros da base: em x=a+k\pi a base é zero; então inclua apenas aqueles zeros onde o expoente é positivo. Se o expoente for zero ou negativo, o ponto é excluído.
  • Nos pontos com base negativa, procure casos especiais do expoente: se o expoente é inteiro ou racional com denominador ímpar (em forma reduzida) então a potência pode ser real — esses pontos são tipicamente isolados. Se o expoente é irracional ou racional com denominador par, então a potência NÃO é real.
  • Não tente “forçar” inclusão de toda região onde a base é negativa — normalmente só aparecem muitos pontos válidos se o expoente assumir valores racionais apropriados; na prática para provas costuma-se citar a condição e apontar casos relevantes (por exemplo expoentes inteiros visíveis, expoente zero, expoentes = ±1, etc.).

Resposta

\mathcal{D}(f_{1})=\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(2k\pi,\,(2k+1)\pi)\\ \cup\\ \{2k\pi:\\ k\in\mathbb{Z}\}\\ \cup\\ \{x:\\ \cos x=0\}\\ \cup\\ \{x:\\ \sin x<0\\ \text{ e }\\ \cos x=\tfrac{p}{q}\text{ (forma irredutível), \(q ímpar}})
\mathcal{D}(f_{2})=\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(2k\pi,\,(2k+1)\pi)\\ \cup\\ \{x:\\ \sin x<0\\ \text{ e }\\ \sin x=\tfrac{p}{q}\text{ (forma irredutível), \(q ímpar}})
\mathcal{D}(f_{3})=\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\bigr)\\ \cup\\ \{x:\\ \cos x>0\\ \text{ e }\\ \cos x=\tfrac{p}{q}\text{ (forma irredutível), \(q ímpar}}\ \cup\ {2k\pi:\ k\in\mathbb{Z}})

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