QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha 3 funções do tipo
e determine o domínio real de cada uma. Vou escolher três casos (valores de
e
) que ilustram os comportamentos típicos desta família:
-
, isto é -
, isto é -
, isto é
O objetivo é achar o domínio (conjunto de
onde a expressão é bem definida como número real) para cada uma dessas três escolhas.
Passo 2
Antes de começar a aplicar ao caso trigonométrico, vamos revisar com calma quando uma potência real
(com
) é um número real bem definido. Isso é crucial aqui porque a base será
e o expoente
.
Regras importantes (explicadas de forma concreta):
- Se
: então está bem definida para todo . Formalmente usa-se . Exemplo: é bem definido. - Se
: então está bem definido somente quando . Nesses casos . Para temos indeterminado (não é aceito como valor) e para temos indefinido (divisão por zero). - Se
: a situação é delicada. Em geral não é real para expoentes reais arbitrários. Temos casos em que é real: - se
é um inteiro, é real (por exemplo ). - se
é um racional na forma em fração irredutível com ímpar, então pode ser definido como multiplicado pelo sinal apropriado (raízes ímpares de números negativos são reais). Por exemplo é real. - se
é racional com denominador par (por exemplo ) ou for irracional, em geral não é um real bem definido (gera número complexo).
Resumindo prático: para base negativa é preciso que o expoente tenha uma forma racional especial (denominador ímpar) ou ser inteiro; na prática, quando o expoente é uma função contínua (como) só em pontos isolados ele pode assumir exatamente tais valores racionais especiais.
- se
Vou usar essas regras para analisar os três casos escolhidos.
Passo 3
Caracterização geral aplicável aos três casos (com
e
):
Denotando
(a base) e
(o expoente), o ponto
pertence ao domínio se e só se uma das situações abaixo ocorre:
-
. Então está definida para todo . (base positiva = sem restrição ao expoente). -
. Então é preciso para que esteja definida. Não é permitido (levanta ) nem (levanta na potência negativa). -
. Então só são permitidos que façam real: isso ocorre quando é um racional numa forma irredutível com ímpar (ou quando é inteiro). Se e então está definido (observe que isto cai no caso e expoente — é permitido).
Também usarei as identidades/tratamentos das zeros e sinais de
e
:
-
para (inteiro ). -
para . -
para . -
em ; em intervalos centrais e em outros intervalos, conforme conhecido.
Com isso, passo a aplicar essas regras caso a caso, explicando cada escolha.
Passo 4
Caso 1:
Análise passo a passo:
- A base é
. - O expoente é
.
- Pontos onde
. Esses pontos são
Em todos esses intervalos a base é positiva, então
está bem definida para todo
desses intervalos (sem restrição no expoente).
- Pontos onde
. Esses são .
- Em
temos e . Então é bem definido. Logo todos pertencem ao domínio. - Em
temos e . Então é indefinido (divisão por zero). Portanto esses pontos NÃO pertencem ao domínio. - Não existe simultaneamente
e , então não aparece aqui.
- Pontos onde
. Nesses pontos a base é negativa. Para a potência ser real precisamos que o expoente seja um número que permita potência de base negativa dar real. Isso ocorre em pontos onde é: - inteiro (isto é
), lembrando casos: -
ocorre em — já tratado (aí ou pode ser negativa? em tem ; portanto não gera novo ponto). -
ocorre em . Se e então está definido; portanto qualquer com e pertence ao domínio. Em particular, em temos e , daí definido. Observe que pontos com e não ocorrem.
-
- ou um racional na forma irredutível
com ímpar. A função atinge todos os valores em e, portanto, atinge valores racionais com denominador ímpar em infinitos . Cada tal valor fornece pontos (geralmente uma sequência infinita discreta) onde a potência de base negativa é real. Esses pontos são em geral isolados e dependem da condição com ímpar.
- inteiro (isto é
Conclusão para
(organizando o domínio):
Na prática: todos os intervalos onde
, mais os pontos
, mais os pontos onde
(esses incluem casos com
positivo ou negativo), e ainda certos pontos isolados quando
assume racionais com denominador ímpar (casos em que a potência de base negativa é real).
Passo 5
Caso 2:
Aqui o expoente é
. Reaplico as regras:
-
(mesmos intervalos ). A base é positiva, então todos esses estão no domínio sem restrição. -
(isto é ). Neste caso a base é e o expoente também é (já que implica no expoente): portanto temos em todos os . Isso é indeterminado, logo NENHUM pertence ao domínio de . Diferente do caso 1, aqui não há pontos do tipo porque o expoente coincide com a base. -
(base negativa). Para que a potência seja real precisamos que o expoente seja inteiro ou racional com denominador ímpar, etc. Observações úteis: - Em
temos , expoente (inteiro), base : então é real — esses pontos pertencem ao domínio. - Em geral, há muitos
com assumindo valores racionais com denominador ímpar; cada tal valor gera soluções (infinitas) onde a potência é real.
- Em
Conclusão para
:
Importante: todos os pontos
(onde
) são excluídos porque aí aparece
.
Passo 6
Caso 3:
Agora a base é
e o expoente
. Vou analisar sinais de
:
- Quando
isto é , ou seja . Os intervalos onde são
Nesses intervalos a base é positiva, então a potência está bem definida para todo expoente (sem restrição). Portanto toda essa parte pertence ao domínio.
-
Quando
isto é ocorrendo em , isto é . Nesses pontos a base é e o expoente é , então temos , que é indeterminado. Logo todos os são EXCLUÍDOS do domínio. -
Quando
isto é ou . Aqui a base é negativa, e vale a regra já discutida: a potência é real quando o expoente é inteiro ou racional com denominador ímpar (em forma irredutível). Alguns casos particulares: -
(ocorre em ): então a potência é real — esses pontos pertencem ao domínio. -
já foi excluído (produz ). -
assumindo certos racionais com denominador ímpar gera pontos (discretos) onde a expressão é real.
-
Conclusão para
:
E explicitamente os pontos
são excluídos porque dão
.
Passo 7
Resumo didático e dicas práticas para a prova (pequena aula de bolso):
- Sempre verifique primeiro onde a base é positiva: esses intervalos entram automaticamente no domínio. Para
isso significa . - Verifique zeros da base: em
a base é zero; então inclua apenas aqueles zeros onde o expoente é positivo. Se o expoente for zero ou negativo, o ponto é excluído. - Nos pontos com base negativa, procure casos especiais do expoente: se o expoente é inteiro ou racional com denominador ímpar (em forma reduzida) então a potência pode ser real — esses pontos são tipicamente isolados. Se o expoente é irracional ou racional com denominador par, então a potência NÃO é real.
- Não tente “forçar” inclusão de toda região onde a base é negativa — normalmente só aparecem muitos pontos válidos se o expoente assumir valores racionais apropriados; na prática para provas costuma-se citar a condição e apontar casos relevantes (por exemplo expoentes inteiros visíveis, expoente zero, expoentes = ±1, etc.).
Resposta
ímpar}})
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