Questão 3. (1.0) Escolha um item e determine a transformada inversa de Laplace da função dada. Indique as propriedades que está empregando para seu cálculo.
(a) F(s)=\frac{e^{-3 s}}{(s-1)(s-2)}
(b) G(s)=\frac{s}{(s+1)^{2}}

Passo 1

Vou escolher o item (a). O enunciado nos dá a função a transformada de Laplace
F(s)=\frac{e^{-3s}}{(s-1)(s-2)}
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há um fator e^{-3s} multiplicando uma função racional em s.
  • O denominador é (s-1)(s-2), produto de dois pólos simples em s=1 e s=2.
  • O objetivo é obter f(t) explicando as propriedades usadas.

Passo 2

Relembrando propriedades e transformadas básicas que vou empregar (explicadas de forma didática).
  1. Linearidade da transformada inversa: se F(s)=aG(s)+bH(s) então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\},
onde a,b são constantes reais.
  1. Transformada inversa básica de uma função racional simples:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}u(t),
onde t é a variável do tempo, s é a variável complexa da transformada, a é uma constante (pólo), e u(t) é a função degrau de Heaviside (ou seja, u(t)=1 para t\ge0 e 0 para t<0). Exemplo rápido: \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)\}=e^{2t}u(t).
  1. Propriedade do deslocamento no tempo (Teorema de deslocamento de Heaviside):
    Se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} então, para a>0,
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}F(s).
Invertendo,
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)u(t-a).
Aqui a é o tempo de atraso (deslocamento), e f(t-a)u(t-a) significa que a função f aparece apenas a partir de t=a.
  1. Técnica de frações parciais: se aparece uma função racional como \dfrac{1}{(s-1)(s-2)}, decompõe-se em
\frac{1}{(s-1)(s-2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2},
e resolve-se A e B para depois aplicar transformadas inversas simples como no item 2.
Vou usar as propriedades 2, 3 e a técnica 4 explicitamente.

Passo 3

Aplicar frações parciais à parte racional que aparece em F(s). Primeiro considero a função sem o fator de atraso:
H(s)=\frac{1}{(s-1)(s-2)}.
Decompomos
\frac{1}{(s-1)(s-2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s-2) obtemos
1 = A(s-2)+B(s-1).
Agora determinamos A e B. Substituindo s=1:
1 = A(1-2)+B(0)\quad\Rightarrow\quad 1 = -A \quad\Rightarrow\quad A=-1.
Substituindo s=2:
1 = A(0)+B(2-1)\quad\Rightarrow\quad 1 = B \quad\Rightarrow\quad B=1.
Portanto
H(s)=-\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s-2}.

Passo 4

Encontrar a transformada inversa de H(s) (sem deslocamento). Usando a propriedade básica de inversão:
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{s-1}\right\} = -e^{t}u(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-2}\right\} = e^{2t}u(t).
Pela linearidade,
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} = -e^{t}u(t) + e^{2t}u(t) = \bigl(-e^{t}+e^{2t}\bigr)u(t).

Passo 5

Agora incorporo o fator de atraso e^{-3s} que estava em F(s). Temos
F(s)=e^{-3s}H(s).
Pela propriedade de deslocamento no tempo (Passo 2, item 3), a transformada inversa é h(t-3)u(t-3). Ou seja,
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=h(t-3)u(t-3).
Substituindo h obtido no Passo 4:
f(t)=\bigl(-e^{\,t-3}+e^{\,2(t-3)}\bigr)u(t-3).

Passo 6

Posso reescrever de forma mais limpa, colocando o fator u(t-3) em evidência:
f(t)=u(t-3)\bigl(e^{2(t-3)}-e^{t-3}\bigr).
Essa é a expressão final da transformada inversa de Laplace de F(s)=\dfrac{e^{-3s}}{(s-1)(s-2)}. As propriedades explicitamente usadas foram: frações parciais (Passo 3), transformada inversa de 1/(s-a) (Passo 4) e a propriedade de deslocamento no tempo (Passo 5).

Resposta

f(t)=u(t-3)\bigl(e^{2(t-3)}-e^{t-3}\bigr)

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