Questão 3. (1.0) Escolha um item e determine a transformada inversa de Laplace da função dada. Indique as propriedades que está empregando para seu cálculo.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Vou escolher o item (a). O enunciado nos dá a função a transformada de Laplace
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar
.
Informações relevantes fornecidas:
- Há um fator
multiplicando uma função racional em . - O denominador é
, produto de dois pólos simples em e . - O objetivo é obter
explicando as propriedades usadas.
Passo 2
Relembrando propriedades e transformadas básicas que vou empregar (explicadas de forma didática).
- Linearidade da transformada inversa: se
então
onde
são constantes reais.
- Transformada inversa básica de uma função racional simples:
onde
é a variável do tempo,
é a variável complexa da transformada,
é uma constante (pólo), e
é a função degrau de Heaviside (ou seja,
para
e
para
). Exemplo rápido:
.
- Propriedade do deslocamento no tempo (Teorema de deslocamento de Heaviside):
Seentão, para ,
Invertendo,
Aqui
é o tempo de atraso (deslocamento), e
significa que a função
aparece apenas a partir de
.
- Técnica de frações parciais: se aparece uma função racional como
, decompõe-se em
e resolve-se
e
para depois aplicar transformadas inversas simples como no item 2.
Vou usar as propriedades 2, 3 e a técnica 4 explicitamente.
Passo 3
Aplicar frações parciais à parte racional que aparece em
. Primeiro considero a função sem o fator de atraso:
Decompomos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora determinamos
e
. Substituindo
:
Substituindo
:
Portanto
Passo 4
Encontrar a transformada inversa de
(sem deslocamento). Usando a propriedade básica de inversão:
Pela linearidade,
Passo 5
Agora incorporo o fator de atraso
que estava em
. Temos
Pela propriedade de deslocamento no tempo (Passo 2, item 3), a transformada inversa é
. Ou seja,
Substituindo
obtido no Passo 4:
Passo 6
Posso reescrever de forma mais limpa, colocando o fator
em evidência:
Essa é a expressão final da transformada inversa de Laplace de
. As propriedades explicitamente usadas foram: frações parciais (Passo 3), transformada inversa de
(Passo 4) e a propriedade de deslocamento no tempo (Passo 5).