Questão 4. (2.0) Determine a solução geral do sistema
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais ordinárias
O que se pede: determinar a solução geral
do sistema.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
- As derivadas temporais são
e . - Os coeficientes numéricos nas equações são
(estes aparecem na matriz do sistema).]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
, que facilita o uso de álgebra linear. Definindo
o sistema fica
Explicação curta (por que isso ajuda): para sistemas lineares com coeficientes constantes, procurar soluções relacionadas aos autovalores e autovetores de
é o método padrão — essas soluções aparecem na forma
.]
Passo 3
Calcular os autovalores
de
resolvendo o polinômio característico
. Primeiro escrevemos
O determinante é
Calculando passo a passo:
e somando
(pois
) obtemos
Logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica
.]
Passo 4
Agora buscamos autovetores associados a
, resolvendo
. Calculamos
Resolver
A primeira equação é
, que dá
. Tomando
(escolha simples), obtemos um autovetor
Observação importante: a matriz
tem posto
, portanto a multiplicidade geométrica do autovalor
é
(ou seja, só encontramos um autovetor independente). Como a multiplicidade geométrica (
) é menor que a multiplicidade algébrica (
), a matriz não é diagonalizável e precisamos de um autovetor generalizado para formar a solução geral.]
Passo 5
Construímos um autovetor generalizado
satisfazendo
Isto cria uma cadeia de Jordan (um vetor
e um vetor generalizado
). Escrevendo
, a equação é
As equações são
A segunda é simplesmente metade da primeira; escolhemos uma solução simples: tomar
dá
. Assim um autovetor generalizado é
Passo 6
Agora explicamos a forma da solução geral quando existe um único autovetor e um autovetor generalizado (caso de um bloco de Jordan
para
). Duas soluções linearmente independentes do sistema são
e
Breve verificação por diferenciação (para ficar seguro): calcular
Por outro lado,
Usando
e
, verifica-se que
. Portanto
. Assim
e
são soluções e são linearmente independentes, formando uma base de soluções.
Passo 7
A solução geral é combinação linear dessas duas soluções:
onde
são constantes arbitrárias. Substituindo
e
obtemos explicitamente
Escrevendo em componentes
:
com
constantes arbitrárias. (Se preferir, pode reorganizar as constantes: por exemplo
e
, mas acima está explícita a relação direta com
.)]