Questão 4. (2.0) Determine a solução geral do sistema
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=-4 y+3 x \\ y^{\prime}=x-y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais ordinárias
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=-4y+3x,\\[4pt] y^{\prime}=x-y. \end{array}\right.
O que se pede: determinar a solução geral (x(t),y(t)) do sistema.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • As derivadas temporais são x^{\prime}=\dfrac{dx}{dt} e y^{\prime}=\dfrac{dy}{dt}.
  • Os coeficientes numéricos nas equações são 3,-4,1,-1 (estes aparecem na matriz do sistema).]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial \,X'=AX\,, que facilita o uso de álgebra linear. Definindo
X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
o sistema fica
X'(t)=A X(t).
Explicação curta (por que isso ajuda): para sistemas lineares com coeficientes constantes, procurar soluções relacionadas aos autovalores e autovetores de A é o método padrão — essas soluções aparecem na forma e^{\lambda t}v.]

Passo 3

Calcular os autovalores \lambda de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Primeiro escrevemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[4pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-4)(1).
Calculando passo a passo:
(3-\lambda)(-1-\lambda)= -3 -2\lambda +\lambda^2,
e somando +4 (pois -(-4)(1)=+4) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Logo o único autovalor é
\lambda=1
com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 4

Agora buscamos autovetores associados a \lambda=1, resolvendo (A-I)v=0. Calculamos
A-I=\begin{pmatrix}2 & -4\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
Resolver
\begin{pmatrix}2 & -4\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A primeira equação é 2v_1-4v_2=0, que dá v_1=2v_2. Tomando v_2=1 (escolha simples), obtemos um autovetor
v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Observação importante: a matriz A-I tem posto 1, portanto a multiplicidade geométrica do autovalor 1 é 1 (ou seja, só encontramos um autovetor independente). Como a multiplicidade geométrica ( 1) é menor que a multiplicidade algébrica ( 2), a matriz não é diagonalizável e precisamos de um autovetor generalizado para formar a solução geral.]

Passo 5

Construímos um autovetor generalizado w satisfazendo
(A-I)w = v.
Isto cria uma cadeia de Jordan (um vetor v e um vetor generalizado w). Escrevendo w=\begin{pmatrix}w_1\\[4pt]w_2\end{pmatrix}, a equação é
\begin{pmatrix}2 & -4\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\\[4pt]w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
As equações são
2w_1-4w_2=2,\qquad w_1-2w_2=1.
A segunda é simplesmente metade da primeira; escolhemos uma solução simples: tomar w_2=0 w_1=1. Assim um autovetor generalizado é
w=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora explicamos a forma da solução geral quando existe um único autovetor e um autovetor generalizado (caso de um bloco de Jordan 2\times2 para \lambda=1). Duas soluções linearmente independentes do sistema são
X_1(t)=e^{\lambda t}v=e^{t}\,v
e
X_2(t)=e^{\lambda t}\bigl(t v + w\bigr)=e^{t}\bigl(t v + w\bigr).
Breve verificação por diferenciação (para ficar seguro): calcular X_2'(t)
X_2'(t)=e^{t}(t v + w)+e^{t}v=e^{t}\bigl((t v + w)+v\bigr).
Por outro lado,
A X_2(t)=A\bigl(e^{t}(t v + w)\bigr)=e^{t}A(t v + w).
Usando (A-I)v=0 e (A-I)w=v, verifica-se que A(t v + w)=(t v + w)+v. Portanto X_2'(t)=A X_2(t). Assim X_1 e X_2 são soluções e são linearmente independentes, formando uma base de soluções.

Passo 7

A solução geral é combinação linear dessas duas soluções:
X(t)=C_1 X_1(t)+C_2 X_2(t)=e^{t}\bigl(C_1 v + C_2(t v + w)\bigr),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Substituindo v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} e w=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} obtemos explicitamente
X(t)=e^{t}\left(C_1\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2\left(t\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right)\right).
Escrevendo em componentes (x(t),y(t)):
x(t)=e^{t}\bigl(2C_1 + C_2 + 2C_2 t\bigr), \qquad y(t)=e^{t}\bigl(C_1 + C_2 t\bigr),
com C_1,C_2\in\mathbb{R} constantes arbitrárias. (Se preferir, pode reorganizar as constantes: por exemplo A=2C_1+C_2 e B=C_2, mas acima está explícita a relação direta com C_1,C_2.)]

Resposta

x(t)=e^{t}\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)
y(t)=e^{t}\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)

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