Questão 1. (1.0) Determine a solução geral, no interalo ( 0,+\infty ), da EDO:
x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral, no intervalo (0,+\infty), da EDO
x^{2}y''+5x y'+5y=0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea.
  • Os coeficientes são funções de x dadas por x^{2}, 5x e 5.
  • Deve-se obter a solução geral válida para todo x\in(0,+\infty).

Passo 2

Por que método escolher? Observando que os coeficientes são potências de x (termo em x^{2}, termo em x, termo constante), uma técnica padrão e eficiente é tentar uma solução do tipo
y=x^{r},
com r sendo um número (tal que x^{r} seja duas vezes diferenciável em (0,+\infty)). Essa tentativa é a técnica de Euler–Cauchy para equações “equi-dimensionais” e costuma transformar a EDO numa equação algébrica para r. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular y' e y'' para y=x^{r}.
Derivando potências:
y=x^{r}\quad\Rightarrow\quad y' = r x^{r-1},
y'' = r(r-1)x^{r-2}.
(Explicação rápida: a derivada de x^{r} em relação a x é r x^{r-1}; derivando de novo aplica-se a mesma regra ao fator r x^{r-1}.)

Passo 4

Substituir y, y' e y'' na EDO:
x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big)+5x\big(r x^{r-1}\big)+5\big(x^{r}\big)=0.
Simplificando cada termo:
x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2}=r(r-1)x^{r},
5x\cdot r x^{r-1}=5r x^{r},
5x^{r}=5x^{r}.
Somando os termos:
\big(r(r-1)+5r+5\big)x^{r}=0.
Como estamos no intervalo (0,+\infty), tem-se x^{r}\neq 0. Portanto podemos dividir por x^{r} e obter a equação característica (uma equação algébrica em r):
r(r-1)+5r+5=0.

Passo 5

Resolver a equação característica. Expandindo:
r^{2}-r+5r+5=r^{2}+4r+5=0.
Aplicando a fórmula quadrática para ar^{2}+br+c=0 com a=1, b=4, c=5:
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}.
Como \sqrt{-4}=2i, vem
r=\frac{-4\pm 2i}{2}=-2\pm i.
Ou seja, a equação característica tem raízes complexas conjugadas \,r=-2+i e \,r=-2-i.

Passo 6

Converter as raízes complexas em solução real geral. Regra padrão para equações de Euler–Cauchy: se as raízes da equação característica são \,r=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \beta\neq 0), a solução geral real é
y(x)=x^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias. Explicando por que: x^{r}=e^{r\ln x}=e^{\alpha\ln x}e^{i\beta\ln x}=x^{\alpha}\big(\cos(\beta\ln x)+i\sin(\beta\ln x)\big); tomando combinações lineares reais das duas raízes complexas obtém-se a forma com cosseno e seno em \ln x.
Aqui \alpha=-2 e \beta=1. Portanto a solução geral real é
y(x)=x^{-2}\big(C_{1}\cos(\ln x)+C_{2}\sin(\ln x)\big),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 7

Resumo e verificação rápida: a solução obtida é válida para x>0. Pode-se checar diferenciando essa expressão e substituindo de volta na EDO (é um pouco trabalhoso, mas segue direto das propriedades exponenciais e trigonométricas). As constantes C_{1},C_{2} são arbitrárias, portanto temos a família completa de soluções gerais.

Resposta

y(x)=x^{-2}\big(C_{1}\cos(\ln x)+C_{2}\sin(\ln x)\big),\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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