Questão 1. (1.0) Determine a solução geral, no interalo (
), da EDO:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral, no intervalo
, da EDO
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea.
- Os coeficientes são funções de
dadas por , e . - Deve-se obter a solução geral válida para todo
.
Passo 2
Por que método escolher? Observando que os coeficientes são potências de
(termo em
, termo em
, termo constante), uma técnica padrão e eficiente é tentar uma solução do tipo
com
sendo um número (tal que
seja duas vezes diferenciável em
). Essa tentativa é a técnica de Euler–Cauchy para equações “equi-dimensionais” e costuma transformar a EDO numa equação algébrica para
. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
e
para
.
Derivando potências:
(Explicação rápida: a derivada de
em relação a
é
; derivando de novo aplica-se a mesma regra ao fator
.)
Passo 4
Substituir
,
e
na EDO:
Simplificando cada termo:
Somando os termos:
Como estamos no intervalo
, tem-se
. Portanto podemos dividir por
e obter a equação característica (uma equação algébrica em
):
Passo 5
Resolver a equação característica. Expandindo:
Aplicando a fórmula quadrática para
com
,
,
:
Como
, vem
Ou seja, a equação característica tem raízes complexas conjugadas
e
.
Passo 6
Converter as raízes complexas em solução real geral. Regra padrão para equações de Euler–Cauchy: se as raízes da equação característica são
(com
,
), a solução geral real é
onde
são constantes reais arbitrárias. Explicando por que:
; tomando combinações lineares reais das duas raízes complexas obtém-se a forma com cosseno e seno em
.
Aqui
e
. Portanto a solução geral real é
com
.
Passo 7
Resumo e verificação rápida: a solução obtida é válida para
. Pode-se checar diferenciando essa expressão e substituindo de volta na EDO (é um pouco trabalhoso, mas segue direto das propriedades exponenciais e trigonométricas). As constantes
são arbitrárias, portanto temos a família completa de soluções gerais.