Qưestão 9- Em uma esfera inscreve-se um tetraedro regular e neste tetraedro regular inscreve-se uma nova esfera. Determine a relação entre as superfícies das esferas.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera de raio
na qual está inscrito um tetraedro regular de aresta
. Em seguida, dentro desse tetraedro inscrito inscreve-se uma segunda esfera de raio
. Precisamos achar a relação entre as áreas das duas superfícies esféricas. Para isso usaremos as fórmulas do raio circunscrito e do raio inscrito em um tetraedro regular.
Passo 2
Para um tetraedro regular de aresta
, o raio da esfera circunscrita (que é justamente o nosso
) vale
Passo 3
O raio da esfera inscrita nesse mesmo tetraedro (que chamamos de
) é dado por
Passo 4
Daquelas expressões segue-se facilmente a razão entre os raios:
Passo 5
Como a área de uma esfera é
, a razão entre as áreas
e
é
Resposta
A área da esfera inscrita é
da área da esfera circunscrita.