Qưestão 9- Em uma esfera inscreve-se um tetraedro regular e neste tetraedro regular inscreve-se uma nova esfera. Determine a relação entre as superfícies das esferas.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de raio R na qual está inscrito um tetraedro regular de aresta a. Em seguida, dentro desse tetraedro inscrito inscreve-se uma segunda esfera de raio r. Precisamos achar a relação entre as áreas das duas superfícies esféricas. Para isso usaremos as fórmulas do raio circunscrito e do raio inscrito em um tetraedro regular.

Passo 2

Para um tetraedro regular de aresta a, o raio da esfera circunscrita (que é justamente o nosso R) vale
R = \frac{a\sqrt{6}}{4}.

Passo 3

O raio da esfera inscrita nesse mesmo tetraedro (que chamamos de r) é dado por
r = \frac{a\sqrt{6}}{12}.

Passo 4

Daquelas expressões segue-se facilmente a razão entre os raios:
\frac{r}{R} = \frac{\tfrac{a\sqrt{6}}{12}}{\tfrac{a\sqrt{6}}{4}} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Como a área de uma esfera é 4\pi(\text{raio})^2, a razão entre as áreas S_{\text{inscrita}} e S_{\text{circunscrita}} é
\frac{S_{\text{inscrita}}}{S_{\text{circunscrita}}} = \frac{4\pi r^2}{4\pi R^2} = \Bigl(\frac{r}{R}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{2} = \frac{1}{9}.

Resposta

A área da esfera inscrita é \tfrac{1}{9} da área da esfera circunscrita.

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