Questão 8- Calcule as áreas e os volumes das esferas inscrita e circunscrita a um tetraedro regular de aresta a.

Passo 1

O enunciado pede a área de superfície e o volume da esfera circunscrita e da esfera inscrita a um tetraedro regular de aresta a.
Conteúdo: geometria do tetraedro regular (altura, baricentro, in- e circun- raios) e fórmulas da esfera
\text{área} = 4\pi R^2,\quad \text{volume} = \tfrac{4}{3}\pi R^3.á

Passo 2

Primeiro achamos a altura h do tetraedro. Vista como pirâmide de base triângulo equilátero de lado a, tem
h^2 + \bigl(\tfrac{a}{\sqrt3}\bigr)^2 = a^2
pois o eixo da pirâmide cai no centro do triângulo. Logo
h = a\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 3

O circun-raio R é a distância do baricentro ao vértice. Num tetraedro regular o baricentro fica a 1/4 de h da base e a 3/4 de h do vértice, então
R = \tfrac{3}{4}\,h = \tfrac{3}{4}\,a\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \tfrac{\sqrt6}{4}\,a.

Passo 4

O in-raio r é a distância do baricentro à face. Como o baricentro está a 1/4 de h da base,
r = \tfrac{1}{4}\,h = \tfrac{1}{4}\,a\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \tfrac{\sqrt6}{12}\,a.

Passo 5

Agora basta usar as fórmulas da esfera.
Esfera circunscrita ( R=\tfrac{\sqrt6}{4}a)
\text{Área}_\text{circ} = 4\pi R^2 =4\pi\Bigl(\tfrac{\sqrt6}{4}a\Bigr)^2 =4\pi\,\tfrac{6}{16}a^2 =\tfrac{3\pi}{2}\,a^2,Á
\text{Volume}_\text{circ} = \tfrac{4}{3}\pi R^3 =\tfrac{4}{3}\pi\Bigl(\tfrac{\sqrt6}{4}a\Bigr)^3 =\tfrac{\pi\sqrt6}{8}\,a^3.
Esfera inscrita ( r=\tfrac{\sqrt6}{12}a)
\text{Área}_\text{insc} = 4\pi r^2 =4\pi\Bigl(\tfrac{\sqrt6}{12}a\Bigr)^2 =4\pi\,\tfrac{6}{144}a^2 =\tfrac{\pi}{6}\,a^2,Á
\text{Volume}_\text{insc} = \tfrac{4}{3}\pi r^3 =\tfrac{4}{3}\pi\Bigl(\tfrac{\sqrt6}{12}a\Bigr)^3 =\tfrac{\pi\sqrt6}{216}\,a^3.

Resposta

Área da esfera circunscrita: \displaystyle \tfrac{3\pi}{2}\,a^2
Volume da esfera circunscrita: \displaystyle \tfrac{\pi\sqrt6}{8}\,a^3
Área da esfera inscrita: \displaystyle \tfrac{\pi}{6}\,a^2
Volume da esfera inscrita: \displaystyle \tfrac{\pi\sqrt6}{216}\,a^3

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