Questão 8- Calcule as áreas e os volumes das esferas inscrita e circunscrita a um tetraedro regular de aresta a.
Passo 1
O enunciado pede a área de superfície e o volume da esfera circunscrita e da esfera inscrita a um tetraedro regular de aresta
.
Conteúdo: geometria do tetraedro regular (altura, baricentro, in- e circun- raios) e fórmulas da esfera
Conteúdo: geometria do tetraedro regular (altura, baricentro, in- e circun- raios) e fórmulas da esfera
Passo 2
Primeiro achamos a altura
do tetraedro. Vista como pirâmide de base triângulo equilátero de lado
, tem
pois o eixo da pirâmide cai no centro do triângulo. Logo
Passo 3
O circun-raio
é a distância do baricentro ao vértice. Num tetraedro regular o baricentro fica a
de
da base e a
de
do vértice, então
Passo 4
O in-raio
é a distância do baricentro à face. Como o baricentro está a
de
da base,
Passo 5
Agora basta usar as fórmulas da esfera.
Esfera circunscrita (
)
Esfera inscrita (
)
Resposta
Área da esfera circunscrita:
Volume da esfera circunscrita:
Volume da esfera circunscrita:
Área da esfera inscrita:
Volume da esfera inscrita:
Volume da esfera inscrita: