Questão 7: Uma esfera metálica ( \rho=8100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{c}=440 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, \mathrm{k}=55 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) com 35 cm de diâmetro deve ser resfriada em um banho de glicerina a \mathrm{T}_{\infty}=15^{\circ} \mathrm{C}, cujo coeficiente convectivo é igual h=60 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). Considerando que a temperatura inicial da esfera seja de 100^{\circ} \mathrm{C} no momento em que a mesma é imersa no banho, determine qual seria a temperatura da superfície da mesma após 1 hora que o processo de resfriamento foi iniciado.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a temperatura da superfície da esfera após 1 hora de resfriamento no banho (ou seja, a temperatura da superfície em t=1 h).
Dados fornecidos (vou listar tudo em forma matemática para ficar claro):
\rho=8100\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad c=440\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad k=55\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
\text{diâmetro}=0{,}35\\ \mathrm{m}\Rightarrow R=0{,}175\\ \mathrm{m}â
T_{\infty}=15^\circ\mathrm{C},\quad h=60\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},\quad T_{i}=100^\circ\mathrm{C}
Tempo pedido: t=1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
Observação importante para a resposta: o enunciado pede especificamente a temperatura da superfície após 1 hora.

Passo 2

Verificar se podemos usar o método de corpo com temperatura uniforme (método “lumped capacitance”). Para isso calculamos o número de Biot:
L_c=\frac{V}{A}\quad\text{(comprimento característico)}í
Para uma esfera:
V=\frac{4}{3}\pi R^{3},\quad A=4\pi R^{2}\quad\Rightarrow\quad L_c=\frac{V}{A}=\frac{R}{3}.
Logo o número de Biot é
\mathrm{Bi}=\frac{hL_c}{k}=\frac{hR}{3k}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Bi}=\frac{60\cdot 0{,}175}{3\cdot 55}.
Calculemos:
60\cdot 0{,}175=10{,}5,\qquad 3\cdot 55=165,
\mathrm{Bi}=\frac{10{,}5}{165}\approx 0{,}0636.
Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1, a resistência interna por condução é pequena comparada à resistência convectiva e a temperatura interna pode ser tratada como aproximadamente uniforme (método lumped). Como \mathrm{Bi}\approx 0{,}064<0{,}1, podemos usar esse método. Isso significa, crucialmente, que a temperatura da superfície é (aproximadamente) igual à temperatura interna da esfera em cada instante — então calcular a temperatura do corpo com o modelo lumped nos dá diretamente a temperatura de superfície.

Passo 3

Derivar a equação de resfriamento pelo método lumped (aula rápida e prática).
Energia perdida por convecção em um pequeno intervalo dt é:
\text{Potência convectiva}=hA\bigl(T(t)-T_{\infty}\bigr).ê
Variação de energia interna do corpo:
\text{Taxa de variação da energia}=m c\,\frac{dT}{dt}=\rho V c\,\frac{dT}{dt}.çã
Equilíbrio energético (energia interna diminui igual à potência removida):
-\rho V c\,\frac{dT}{dt}=hA\bigl(T(t)-T_{\infty}\bigr).
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Rearranjando e integrando (mostro os passos):
\frac{dT}{dt}=-\frac{hA}{\rho V c}\bigl(T-T_{\infty}\bigr).
Separando variáveis e integrando de T_i em t=0 até T(t) em t:
\int_{T_i}^{T(t)}\frac{dT'}{T'-T_{\infty}}=-\int_{0}^{t}\frac{hA}{\rho V c}\,dt'.
A integral dá:
\ln\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_i-T_{\infty}}=-\frac{hA}{\rho V c}\,t.
Portanto a solução é a conhecida lei exponencial:
T(t)=T_{\infty}+(T_i-T_{\infty})\exp\!\Bigl(-\frac{hA}{\rho V c}\,t\Bigr).
Aqui cada símbolo significa:
T(t)\\ \text{: temperatura do corpo no tempo }t,
T_{\infty}\\ \text{: temperatura do banho }(15^\circ\mathrm{C}),
T_i\\ \text{: temperatura inicial }(100^\circ\mathrm{C}),
h,\\ A,\\ \rho,\\ V,\\ c\\ \text{: coeficiente convecção, área da superfície, densidade, volume e calor específico.}çãáíí

Passo 4

Simplificar o fator \dfrac{hA}{\rho V c} usando A/V=3/R (para esfera):
\frac{hA}{\rho V c}=\frac{h}{\rho c}\cdot\frac{A}{V}=\frac{h}{\rho c}\cdot\frac{3}{R}=\frac{3h}{\rho c R}.
Agora substituímos os valores numéricos:
3h=3\cdot 60=180.
Calculemos \rho c R:
\rho c=8100\cdot 440=3\,564\,000\\ \mathrm{J/(m^{3}\cdot K)},
\rho c R=3\,564\,000\cdot 0{,}175=623\,700\\ (\text{unidade: J/(m^{2}\cdot K)}).
Logo
\frac{3h}{\rho c R}=\frac{180}{623\,700}\approx 0{,}0002887\\ \mathrm{s^{-1}}.
Esse é o coeficiente do expoente ( \lambda), ou seja:
\lambda=\frac{hA}{\rho V c}\approx 0{,}0002887\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calcular o termo exponencial para t=3600\\ \mathrm{s}:
\lambda t=0{,}0002887\cdot 3600\approx 1{,}0385,
\exp(-\lambda t)=\exp(-1{,}0385)\approx 0{,}3545.

Passo 6

Calcular a temperatura T(3600\\ \mathrm{s}) pela fórmula exponencial:
T(t)=T_{\infty}+(T_i-T_{\infty})\exp(-\lambda t).
Substituindo números:
T(3600)=15+(100-15)\cdot 0{,}3545=15+85\cdot 0{,}3545.
85\cdot 0{,}3545\approx 30{,}13,
T(3600)\approx 15+30{,}13=45{,}13^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente (uma casa decimal) temos 45{,}1^\circ\mathrm{C}.
Comentário final amigo: como \mathrm{Bi}<0{,}1 o resultado é consistente com a hipótese de temperatura praticamente uniforme; por isso a temperatura da superfície é igual à temperatura do corpo que calculamos. Força aí — esse tipo de exercício segue sempre a mesma receita: verificar Bi, escolher método, montar balanço e resolver exponencialmente.

Resposta

45{,}1^\circ\mathrm{C}

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