Questão 7: Uma esfera metálica (
) com 35 cm de diâmetro deve ser resfriada em um banho de glicerina a
, cujo coeficiente convectivo é igual
. Considerando que a temperatura inicial da esfera seja de
no momento em que a mesma é imersa no banho, determine qual seria a temperatura da superfície da mesma após 1 hora que o processo de resfriamento foi iniciado.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a temperatura da superfície da esfera após 1 hora de resfriamento no banho (ou seja, a temperatura da superfície em
h).
Dados fornecidos (vou listar tudo em forma matemática para ficar claro):
Tempo pedido:
Observação importante para a resposta: o enunciado pede especificamente a temperatura da superfície após 1 hora.
Passo 2
Verificar se podemos usar o método de corpo com temperatura uniforme (método “lumped capacitance”). Para isso calculamos o número de Biot:
Para uma esfera:
Logo o número de Biot é
Substituindo os valores:
Calculemos:
Regra prática: se
, a resistência interna por condução é pequena comparada à resistência convectiva e a temperatura interna pode ser tratada como aproximadamente uniforme (método lumped). Como
, podemos usar esse método. Isso significa, crucialmente, que a temperatura da superfície é (aproximadamente) igual à temperatura interna da esfera em cada instante — então calcular a temperatura do corpo com o modelo lumped nos dá diretamente a temperatura de superfície.
Passo 3
Derivar a equação de resfriamento pelo método lumped (aula rápida e prática).
Energia perdida por convecção em um pequeno intervalo é:
Energia perdida por convecção em um pequeno intervalo
Variação de energia interna do corpo:
Equilíbrio energético (energia interna diminui igual à potência removida):
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Rearranjando e integrando (mostro os passos):
Separando variáveis e integrando de
em
até
em
:
A integral dá:
Portanto a solução é a conhecida lei exponencial:
Aqui cada símbolo significa:
Passo 4
Simplificar o fator
usando
(para esfera):
Agora substituímos os valores numéricos:
Calculemos
:
Logo
Esse é o coeficiente do expoente (
), ou seja:
Passo 5
Calcular o termo exponencial para
:
Passo 6
Calcular a temperatura
pela fórmula exponencial:
Substituindo números:
Arredondando razoavelmente (uma casa decimal) temos
.
Comentário final amigo: como
o resultado é consistente com a hipótese de temperatura praticamente uniforme; por isso a temperatura da superfície é igual à temperatura do corpo que calculamos. Força aí — esse tipo de exercício segue sempre a mesma receita: verificar Bi, escolher método, montar balanço e resolver exponencialmente.