Questão 4:Para melhorar a dissipação térmica num chip de silício quadrado,com \mathrm{W}=15 \mathrm{~mm} de lado,uma aleta em forma de pino metálico com condutividade térmica \mathrm{k}=68 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{k}) ,é fundida à superfície do chip.O comprimento do pino é \mathrm{L}=18 \mathrm{~mm} e o diâmetro é \mathrm{d}=4 \mathrm{~mm} .Ar atmosférico escoa sobre a superfície superior do chip e está em escoamento cruzado em relação ao pino,com \mathrm{h}=210 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right) e \mathrm{T}_{\infty}=285 \mathrm{~K} .A superfície do chip e,portanto,a base do pino,são mantidas a uma temperatura de \mathrm{T}_{\mathrm{b}}=370 \mathrm{~K} .
a)Determine a eficiência e a efetividade dessa aleta.
b)Desprezando a radiação e supondo que o coeficiente de transferência de calor na superfície exposta do chip seja igual ao apresentado para escoamento do ar ao redor do pino,determine a taxa total de transferência de calor saindo do chip.
c)Determine a temperatura da aleta nas seguintes posições em relação a base: 3 \mathrm{~mm} ; 10 \mathrm{~mm} \mathrm{e} 18 mm .
Passo 1
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a eficiência e a efetividade da aleta em forma de pino metálico.
(b) Desprezando radiação e assumindo o mesmo coeficiente de convecção na superfície do chip, determinar a taxa total de transferência de calor saindo do chip (a aleta está fundida na superfície).
(c) Determinar a temperatura da aleta nas posições a 3\\ \mathrm{mm}, 10\\ \mathrm{mm} e 18\\ \mathrm{mm} a partir da base.
Observação importante: a base da aleta está à temperatura T_{b} e o ar ambiente está a T_{\infty}. Vou definir a diferença de temperatura de referência
Noções físicas e modelo que vou usar (explicando passo a passo):
A aleta é um pino cilíndrico de seção constante. Em regime estacionário e assumindo variação de temperatura apenas ao longo do eixo do pino (aproximação 1D válida para pinos delgados), a equação diferencial para a temperatura excessiva \theta(x)=T(x)-T_{\infty} é
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0,
onde m é um parâmetro que mede a relação entre convecção na superfície lateral e condução axial na aleta. Para seção circular:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_{c}}}
com perímetro P=\pi d e área da seção transversal A_{c}=\pi d^{2}/4. Ao simplificar:
m=\sqrt{\frac{4h}{kd}}.
Condições de contorno: \theta(0)=\theta_{b} (base mantida) e condição convectiva na ponta (x=L):
A solução geral da ODE é \theta(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx). Usando \theta(0)=\theta_{b} dá C_{1}=\theta_{b}. Aplicando a condição da ponta resolve-se para C_{2}. Isso leva à expressão clássica para a vazão de calor da aleta:
Eficiência da aleta \eta é a razão entre o calor real transferido pela aleta e o calor que a mesma transferiria se toda a sua área estivesse à temperatura da base:
\eta=\frac{Q_{f}}{hA_{\text{total}}\theta_{b}},\qquad A_{\text{total}}=A_{\ellateral}+A_{\text{ponta}}=\pi d L + A_{c}.
Efetividade (effectiveness) \varepsilon da aleta normalmente definida como a razão entre o calor fornecido pela aleta e o calor que seria extraído pela mesma área de contato da base sem aleta (ou seja, usando a área de base da aleta A_{c}):
\varepsilon=\frac{Q_{f}}{hA_{c}\theta_{b}}.
Vou usar essas definições acima.
Passo 3
Calcule parâmetros geométricos e numéricos necessários:
Interpretação: a aleta aumenta em cerca de 14{,}1 vezes a capacidade de troca de calor daquela pequena área de base se a aleta não existisse.
Passo 7
Parte (b): taxa total de transferência de calor saindo do chip (desprezando radiação), supondo que o resto da superfície do chip tem o mesmo coeficiente h.
Raciocínio: o topo do chip tem área A_{\text{chip}}=W^{2}. A aleta ocupa a área de base A_{c}. A energia total retirada do chip é a soma do calor da aleta (que sai da base do chip através da aleta) mais a convecção diretamente na área exposta remanescente do chip: