Questão 4:Para melhorar a dissipação térmica num chip de silício quadrado,com \mathrm{W}=15 \mathrm{~mm} de lado,uma aleta em forma de pino metálico com condutividade térmica \mathrm{k}=68 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{k}) ,é fundida à superfície do chip.O comprimento do pino é \mathrm{L}=18 \mathrm{~mm} e o diâmetro é \mathrm{d}=4 \mathrm{~mm} .Ar atmosférico escoa sobre a superfície superior do chip e está em escoamento cruzado em relação ao pino,com \mathrm{h}=210 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right) e \mathrm{T}_{\infty}=285 \mathrm{~K} .A superfície do chip e,portanto,a base do pino,são mantidas a uma temperatura de \mathrm{T}_{\mathrm{b}}=370 \mathrm{~K}
a)Determine a eficiência e a efetividade dessa aleta.
b)Desprezando a radiação e supondo que o coeficiente de transferência de calor na superfície exposta do chip seja igual ao apresentado para escoamento do ar ao redor do pino,determine a taxa total de transferência de calor saindo do chip.
c)Determine a temperatura da aleta nas seguintes posições em relação a base: 3 \mathrm{~mm} ; 10 \mathrm{~mm} \mathrm{e} 18 mm .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar a eficiência e a efetividade da aleta em forma de pino metálico.
  • (b) Desprezando radiação e assumindo o mesmo coeficiente de convecção na superfície do chip, determinar a taxa total de transferência de calor saindo do chip (a aleta está fundida na superfície).
  • (c) Determinar a temperatura da aleta nas posições a 3\\ \mathrm{mm}, 10\\ \mathrm{mm} e 18\\ \mathrm{mm} a partir da base.
Dados fornecidos (vou reescrever em unidades SI):
\begin{aligned} &W=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m},\\\ &L=18\\ \mathrm{mm}=0{,}018\\ \mathrm{m},\\\ &d=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m},\\\ &k=68\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &h=210\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},\\\ &T_{\infty}=285\\ \mathrm{K},\\\ &T_{b}=370\\ \mathrm{K}. \end{aligned}
Observação importante: a base da aleta está à temperatura T_{b} e o ar ambiente está a T_{\infty}. Vou definir a diferença de temperatura de referência
\theta_{b}=T_{b}-T_{\infty}=370-285=85\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Noções físicas e modelo que vou usar (explicando passo a passo):
  • A aleta é um pino cilíndrico de seção constante. Em regime estacionário e assumindo variação de temperatura apenas ao longo do eixo do pino (aproximação 1D válida para pinos delgados), a equação diferencial para a temperatura excessiva \theta(x)=T(x)-T_{\infty} é
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0,
onde m é um parâmetro que mede a relação entre convecção na superfície lateral e condução axial na aleta. Para seção circular:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_{c}}}
com perímetro P=\pi d e área da seção transversal A_{c}=\pi d^{2}/4. Ao simplificar:
m=\sqrt{\frac{4h}{kd}}.
  • Condições de contorno: \theta(0)=\theta_{b} (base mantida) e condição convectiva na ponta (x=L):
-kA_{c}\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=hA_{c}\theta(L)\quad\Longrightarrow\quad -k\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=h\theta(L).
  • A solução geral da ODE é \theta(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx). Usando \theta(0)=\theta_{b} C_{1}=\theta_{b}. Aplicando a condição da ponta resolve-se para C_{2}. Isso leva à expressão clássica para a vazão de calor da aleta:
Q_{f}=kA_{c}m\theta_{b}\,\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\beta\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\beta\operatorname{sinh}(mL)},
onde \beta=\dfrac{h}{mk}.
  • Definições pedidas:
    • Eficiência da aleta \eta é a razão entre o calor real transferido pela aleta e o calor que a mesma transferiria se toda a sua área estivesse à temperatura da base:
    \eta=\frac{Q_{f}}{hA_{\text{total}}\theta_{b}},\qquad A_{\text{total}}=A_{\ellateral}+A_{\text{ponta}}=\pi d L + A_{c}.
    • Efetividade (effectiveness) \varepsilon da aleta normalmente definida como a razão entre o calor fornecido pela aleta e o calor que seria extraído pela mesma área de contato da base sem aleta (ou seja, usando a área de base da aleta A_{c}):
    \varepsilon=\frac{Q_{f}}{hA_{c}\theta_{b}}.
Vou usar essas definições acima.

Passo 3

Calcule parâmetros geométricos e numéricos necessários:
\begin{aligned} &A_{c}=\frac{\pi d^{2}}{4}=\pi\frac{(0{,}004)^{2}}{4}=\pi\cdot 4{,}0\times10^{-6}\approx 1{,}256637\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},\\[4pt] &A_{\ellateral}=\pi d L=\pi\cdot 0{,}004\cdot 0{,}018\approx 2{,}261947\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},\\[4pt] &A_{\text{total}}=A_{\ellateral}+A_{c}\approx 2{,}261947\times10^{-4}+1{,}256637\times10^{-5}=2{,}387611\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}. \end{aligned}
Calcule m:
m=\sqrt{\frac{4h}{kd}}=\sqrt{\frac{4\cdot 210}{68\cdot 0{,}004}}.
Vamos calcular passo a passo:
\frac{4h}{kd}=\frac{840}{68\cdot 0{,}004}=\frac{840}{0{,}272}=3088{,}235294;
assim
m\approx\sqrt{3088{,}235294}\approx 55{,}571\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calcule mL:
mL=55{,}571\cdot 0{,}018\approx 1{,}000278\\ (\text{adimensional}).
Calcule \beta=\dfrac{h}{mk}:
\beta=\frac{210}{55{,}571\cdot 68}\approx\frac{210}{3778{,}828}\approx 0{,}0556.]

Passo 4

Derivar (ou relembrar) a expressão de Q_{f} e calcular numericamente:
A expressão (vista no Passo 2) é
Q_{f}=kA_{c}m\theta_{b}\,\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\beta\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\beta\operatorname{sinh}(mL)}.
Agora calculo as hiperbólicas em mL\approx 1{,}000278. Usando aproximações:
\operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}175629,\qquad \operatorname{cosh}(mL)\approx 1{,}543409.
Calcule o numerador e denominador da fração:
\begin{aligned} &\operatorname{sinh}(mL)+\beta\operatorname{cosh}(mL)\approx 1{,}175629 + 0{,}0556\cdot 1{,}543409 \approx 1{,}261516,\\[4pt] &\operatorname{cosh}(mL)+\beta\operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}543409 + 0{,}0556\cdot 1{,}175629 \approx 1{,}608774. \end{aligned}
A fração vale aproximadamente
\frac{\operatorname{sinh}+\beta\operatorname{cosh}}{\operatorname{cosh}+\beta\operatorname{sinh}}\approx \frac{1{,}261516}{1{,}608774}\approx 0{,}78432.
Calcule kA_{c}m:
kA_{c}m=68\cdot (1{,}256637\times10^{-5})\cdot 55{,}571\approx 0{,}047471\\ \mathrm{W/K}.
Finalmente:
Q_{f}=0{,}047471\cdot \theta_{b}\cdot 0{,}78432 =0{,}047471\cdot 85\cdot 0{,}78432\approx 3{,}165\\ \mathrm{W}.
Portanto a aleta remove cerca de \,3{,}165\\ \mathrm{W}.]

Passo 5

Calcular a eficiência da aleta \eta:
\eta=\frac{Q_{f}}{hA_{\text{total}}\theta_{b}}.
Já temos Q_{f}\approx 3{,}165\\ \mathrm{W}, h=210\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}, A_{\text{total}}\approx 2{,}387611\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}, \theta_{b}=85\\ \mathrm{K}.
Calcule o denominador:
hA_{\text{total}}\theta_{b}=210\cdot 2{,}387611\times10^{-4}\cdot 85\approx 4{,}2620\\ \mathrm{W}.
Logo
\eta\approx \frac{3{,}165}{4{,}2620}\approx 0{,}7429\approx 0{,}743.
Interpretação rápida: a aleta opera a cerca de 74{,}3\% da eficiência ideal (se toda a superfície estivesse à temperatura da base).

Passo 6

Calcular a efetividade \varepsilon:
\varepsilon=\frac{Q_{f}}{hA_{c}\theta_{b}}.
Compute o denominador:
hA_{c}\theta_{b}=210\cdot 1{,}256637\times10^{-5}\cdot 85\approx 0{,}2243\\ \mathrm{W}.
Então
\varepsilon\approx \frac{3{,}165}{0{,}2243}\approx 14{,}11.
Interpretação: a aleta aumenta em cerca de 14{,}1 vezes a capacidade de troca de calor daquela pequena área de base se a aleta não existisse.

Passo 7

Parte (b): taxa total de transferência de calor saindo do chip (desprezando radiação), supondo que o resto da superfície do chip tem o mesmo coeficiente h.
Raciocínio: o topo do chip tem área A_{\text{chip}}=W^{2}. A aleta ocupa a área de base A_{c}. A energia total retirada do chip é a soma do calor da aleta (que sai da base do chip através da aleta) mais a convecção diretamente na área exposta remanescente do chip:
Q_{\text{total}}=Q_{f} + h\,(A_{\text{chip}}-A_{c})\,\theta_{b}.
Calcule A_{\text{chip}}:
A_{\text{chip}}=(0{,}015)^{2}=2{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Área exposta sem a aleta:
A_{\text{chip}}-A_{c}=2{,}25\times10^{-4}-1{,}256637\times10^{-5}=2{,}124364\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule o calor perdido diretamente pelo chip:
Q_{\text{chip\_exposto}}=210\cdot 2{,}124364\times10^{-4}\cdot 85\approx 3{,}7930\\ \mathrm{W}.
Logo
Q_{\text{total}}=Q_{f}+Q_{\text{chip\_exposto}}\approx 3{,}165 + 3{,}793 \approx 6{,}958\\ \mathrm{W}\approx 6{,}96\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Parte (c): determinar a temperatura da aleta em x=3\\ \mathrm{mm}, 10\\ \mathrm{mm} e 18\\ \mathrm{mm} (a partir da base).
Recordando a solução:
\theta(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx),\qquad C_{1}=\theta_{b},
e, da condição da ponta (já usada anteriormente), obtemos
C_{2}=-\theta_{b}\,\frac{\beta\operatorname{cosh}(mL)+\operatorname{sinh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\beta\operatorname{sinh}(mL)}.
No passo 4 calculámos a fração
f\equiv\frac{\beta\operatorname{cosh}(mL)+\operatorname{sinh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\beta\operatorname{sinh}(mL)}\approx 0{,}78432,
logo
C_{2}\approx -\theta_{b}\,f\approx -85\cdot 0{,}78432\approx -66{,}667\\ \mathrm{K}.
Assim
\theta(x)=85\operatorname{cosh}(mx)-66{,}667\operatorname{sinh}(mx).
E a temperatura absoluta é
T(x)=T_{\infty}+\theta(x)=285+\theta(x).
Agora calculo em cada posição.
Posição 1: x_{1}=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}.
mx_{1}=55{,}571\cdot 0{,}003\approx 0{,}166713.
Aproximações:
\operatorname{cosh}(0{,}166713)\approx 1{,}013912,\qquad \operatorname{sinh}(0{,}166713)\approx 0{,}167490.
Logo
\theta(0{,}003)\approx 85\cdot 1{,}013912 -66{,}667\cdot 0{,}167490 \approx 86{,}1825 -11{,}1650 \approx 75{,}0175\\ \mathrm{K},
e
T(0{,}003)\approx 285 + 75{,}0175 \approx 360{,}018\\ \mathrm{K}\approx 360{,}02\\ \mathrm{K}.
Posição 2: x_{2}=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
mx_{2}=55{,}571\cdot 0{,}01\approx 0{,}55571.
Estimando:
\operatorname{cosh}(0{,}55571)\approx 1{,}15795,\qquad \operatorname{sinh}(0{,}55571)\approx 0{,}58395.
Então
\theta(0{,}01)\approx 85\cdot 1{,}15795 -66{,}667\cdot 0{,}58395 \approx 98{,}416 -38{,}930 \approx 59{,}486\\ \mathrm{K},
e
T(0{,}01)\approx 285 + 59{,}486 \approx 344{,}486\\ \mathrm{K}\approx 344{,}49\\ \mathrm{K}.
Posição 3: x_{3}=18\\ \mathrm{mm}=L=0{,}018\\ \mathrm{m}.
mL\approx 1{,}000278,\qquad \operatorname{cosh}(mL)\approx 1{,}543409,\qquad \operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}175629.
Então
\theta(0{,}018)\approx 85\cdot 1{,}543409 -66{,}667\cdot 1{,}175629 \approx 131{,}190 -78{,}375 \approx 52{,}815\\ \mathrm{K},
e
T(0{,}018)\approx 285 + 52{,}815 \approx 337{,}815\\ \mathrm{K}\approx 337{,}81\\ \mathrm{K}.

Resposta

(a) Eficiência da aleta: \eta\approx 0{,}743.
(a) Efetividade da aleta: \varepsilon\approx 14{,}11.
(b) Taxa total de transferência de calor do chip: Q_{\text{total}}\approx 6{,}96\\ \mathrm{W}.
(c) Temperaturas da aleta: T(3\\ \mathrm{mm})\approx 360{,}02\\ \mathrm{K},
T(10\\ \mathrm{mm})\approx 344{,}49\\ \mathrm{K},
T(18\\ \mathrm{mm})\approx 337{,}81\\ \mathrm{K}.

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