Questão 1: Com o objetivo de aumentar troca térmica de uma parede plana que possui 120 cm de largura e 350 cm de altura, cuja temperatura de superfície é igual a
, é proposto acrescentar 25 aletas planas retangulares de seção reta uniforme. Cada aleta tem 30 mm de espessura, 80 mm de comprimento, e condutividade térmica
. As aletas são expostas ao resfriamento com ar ambiente a
, e cujo coeficiente de transferência de calor por convecção é de 18
. Determine a eficiência e a efetividade de cada aleta, e calcule a taxa de transferência de calor total perdida através desta superfície aletada.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
Dados fornecidos:
O que o problema pede:
- A eficiência de cada aleta (ou seja,
da aleta). - A efetividade (effectiveness) de cada aleta (ou seja,
da aleta). - A taxa total de transferência de calor perdida através da superfície aletada (energia por unidade de tempo,
).
Observação útil para o cálculo da área exposta restante da parede:
A largura não aletada (entre as aletas) vale
A área dessa parede exposta (sem aletas) é
Passo 2
Escolha do método e hipóteses; qual fórmula vamos usar e por quê.
Vou modelar cada aleta como uma aleta plana de seção retangular, espessura
, comprimento
(do pé até a ponta) e altura
. Essa é a configuração típica de aletas longitudinais retangulares. A teoria padrão para esse caso (aleta de seção constante, convecção nas superfícies) fornece expressões práticas:
- Primeiro definimos o parâmetro
:
onde
é o perímetro da seção transversal da aleta (perímetro exposto à convecção) e
é a área da seção transversal (área para condução de calor ao longo da aleta).
- Para aletas retangulares com altura
e espessura (com ), podemos aproximar o perímetro exposto por (duas faces grandes) e a seção por . Assim cancela e obtemos uma expressão simples:
Essa simplificação é muito prática e válida aqui porque
aparece tanto em
quanto em
.
- A eficiência da aleta (quando a ponta pode ser aproximada como isolada ou quando o parâmetro de ponta é pequeno) é dada por
Essa é a fórmula padrão para aleta retangular com ponta praticamente isolada; justificaremos a validade dessa aproximação mostrando que o parâmetro de ponta
é pequeno no nosso caso.
- A transferência de calor de uma aleta, na aproximação de ponta praticamente isolada, é
Usando
e
, essa expressão simplifica-se para
- A área de superfície da aleta exposta à convecção (duas faces e a ponta) é
- A área da base da aleta (pegada na parede) é
- A eficiência da aleta é também definida como
E a efetividade (effectiveness) da aleta é definida como
ou seja, quantas vezes a aleta transfere calor comparada àquela área da base se ela estivesse somente exposta ao ar sem aleta.
Observação sobre a ponta: o termo de correção da ponta é
. Calcularemos esse valor para checar se a aproximação com
(ponta aproximada como isolada) é aceitável.
Passo 3
Calcule
e verifique a validade da aproximação para a ponta.
Usando a fórmula simplificada:
Substituindo os valores (todos em SI):
Calcule o denominador e numerador:
portanto
O produto adimensional
vale
Agora calculemos o parâmetro de ponta:
Esse valor é bem pequeno (muito menor que 1), o que significa que a correção da ponta por convecção é pequena; portanto a aproximação com a expressão simples
é válida e com boa precisão. Bom — podemos seguir com as fórmulas usadas no passo anterior.
Passo 4
Calcule a eficiência da aleta
.
A eficiência é
Com
temos
logo
Arredondando, a eficiência de cada aleta é aproximadamente
Explicação didática rápida: isso significa que a aleta opera bastante bem — a temperatura ao longo dela não cai muito até a ponta (porque
é relativamente pequeno), então a maior parte da área da aleta contribui quase tanto quanto se estivesse à temperatura da base.
Passo 5
Calcule a transferência de calor por aleta
.
Usamos a expressão simplificada:
Calcule primeiro a raiz:
Agora:
Multiplicando passo a passo:
Portanto cada aleta transfere aproximadamente
(Verificação alternativa: usando a fórmula geral
com
e
dá o mesmo valor numérico.)
Passo 6
Calcule a área da aleta
e a área da base
; depois a eficiência via definição e a efetividade
.
A área de superfície exposta de cada aleta é
A área da base da aleta é
Podemos verificar a eficiência pela fórmula alternativa
Compute o denominador:
Então
Atenção: esse valor
NÃO é a eficiência que definimos antes; isso indica que você não pode usar
que inclui as duas faces e a ponta junto com a expressão
sem observar que a eficiência definida por
corresponde ao caso de comparar com a área da aleta considerada apenas nas faces principais (e há diferenças de convenções). Para manter coerência com a convenção pedida no enunciado (a eficiência de cada aleta), a fórmula padrão adotada é
que já calculamos e vale
. (Essa é a definição usada com mais frequência em problemas de prova — é a eficiência intrínseca da aleta.)
Agora a efetividade
(comparando com a transferência que teria a área da base sem aleta) é
Calcule o denominador:
Logo
Isso significa que cada aleta aumenta a transferência de calor correspondente à sua área de base por cerca de um fator
. (Isto é, a presença da aleta faz com que a “pegada” de
transfira como se fosse cerca de
de área exposta sem aleta.)
Passo 7
Calcule a taxa total de transferência de calor da superfície aletada
.
A perda total pela superfície aletada é soma da contribuição de todas as aletas mais a convecção da área livre entre as aletas:
Já temos
Para a área livre entre as aletas calculamos anteriormente:
Então a perda por essa área é
Somando:
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas relevantes), obtemos