Questão 1: Com o objetivo de aumentar troca térmica de uma parede plana que possui 120 cm de largura e 350 cm de altura, cuja temperatura de superfície é igual a 75^{\circ} \mathrm{C}, é proposto acrescentar 25 aletas planas retangulares de seção reta uniforme. Cada aleta tem 30 mm de espessura, 80 mm de comprimento, e condutividade térmica \mathrm{k}=37 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}). As aletas são expostas ao resfriamento com ar ambiente a 29^{\circ} \mathrm{C}, e cujo coeficiente de transferência de calor por convecção é de 18 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Determine a eficiência e a efetividade de cada aleta, e calcule a taxa de transferência de calor total perdida através desta superfície aletada.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{largura da parede: }\, W = 120\\ \mathrm{cm} = 1{,}20\\ \mathrm{m},\\\ &\text{altura da parede (altura das aletas): }\, H = 350\\ \mathrm{cm} = 3{,}50\\ \mathrm{m},\\\ &\text{número de aletas: }\, N = 25,\\\ &\text{espessura da aleta: }\, t = 30\\ \mathrm{mm} = 0{,}03\\ \mathrm{m},\\\ &\text{comprimento da aleta (projeção a partir da parede): }\, L = 80\\ \mathrm{mm} = 0{,}08\\ \mathrm{m},\\\ &\text{condutividade térmica: }\, k = 37\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\text{temperatura da superfície (base das aletas): }\, T_b = 75^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura do ar ambiente: }\, T_\infty = 29^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{diferença de temperatura: }\, \Delta T = T_b - T_\infty = 46\\ \mathrm{K},\\\ &\text{coeficiente de convecção: }\, h = 18\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. \end{aligned}úçãéíççã
O que o problema pede:
  • A eficiência de cada aleta (ou seja, \eta da aleta).
  • A efetividade (effectiveness) de cada aleta (ou seja, \varepsilon da aleta).
  • A taxa total de transferência de calor perdida através da superfície aletada (energia por unidade de tempo, Q_\text{total}).
Observação útil para o cálculo da área exposta restante da parede:
\text{largura total ocupada por aletas} = N\cdot t = 25\cdot 0{,}03 = 0{,}75\\ \mathrm{m}.
A largura não aletada (entre as aletas) vale
W_\text{livre} = W - N t = 1{,}20 - 0{,}75 = 0{,}45\\ \mathrm{m}.
A área dessa parede exposta (sem aletas) é
A_\text{livre} = W_\text{livre}\cdot H = 0{,}45\cdot 3{,}50 = 1{,}575\\ \mathrm{m^2}.

Passo 2

Escolha do método e hipóteses; qual fórmula vamos usar e por quê.
Vou modelar cada aleta como uma aleta plana de seção retangular, espessura t, comprimento L (do pé até a ponta) e altura H. Essa é a configuração típica de aletas longitudinais retangulares. A teoria padrão para esse caso (aleta de seção constante, convecção nas superfícies) fornece expressões práticas:
  • Primeiro definimos o parâmetro m:
m = \sqrt{\frac{hP}{kA_c}},
onde P é o perímetro da seção transversal da aleta (perímetro exposto à convecção) e A_c é a área da seção transversal (área para condução de calor ao longo da aleta).
  • Para aletas retangulares com altura H e espessura t (com H\gg t), podemos aproximar o perímetro exposto por P \approx 2H (duas faces grandes) e a seção por A_c = tH. Assim H cancela e obtemos uma expressão simples:
m = \sqrt{\frac{2h}{kt}}.
Essa simplificação é muito prática e válida aqui porque H aparece tanto em P quanto em A_c.
  • A eficiência da aleta (quando a ponta pode ser aproximada como isolada ou quando o parâmetro de ponta é pequeno) é dada por
\eta = \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Essa é a fórmula padrão para aleta retangular com ponta praticamente isolada; justificaremos a validade dessa aproximação mostrando que o parâmetro de ponta h/(mk) é pequeno no nosso caso.
  • A transferência de calor de uma aleta, na aproximação de ponta praticamente isolada, é
q_f = \sqrt{hPkA_c}\,(T_b - T_\infty)\,\operatorname{tanh}(mL).
Usando P\approx 2H e A_c = tH, essa expressão simplifica-se para
q_f = H\sqrt{2 h k t}\,(T_b - T_\infty)\,\operatorname{tanh}(mL).
  • A área de superfície da aleta exposta à convecção (duas faces e a ponta) é
A_f = H(2L + t).
  • A área da base da aleta (pegada na parede) é
A_b = H t.
  • A eficiência da aleta é também definida como
\eta = \frac{q_f}{h A_f (T_b - T_\infty)}.
E a efetividade (effectiveness) da aleta é definida como
\varepsilon = \frac{q_f}{h A_b (T_b - T_\infty)},
ou seja, quantas vezes a aleta transfere calor comparada àquela área da base se ela estivesse somente exposta ao ar sem aleta.
Observação sobre a ponta: o termo de correção da ponta é \dfrac{h}{m k}. Calcularemos esse valor para checar se a aproximação com \operatorname{tanh}(mL) (ponta aproximada como isolada) é aceitável.

Passo 3

Calcule m e verifique a validade da aproximação para a ponta.
Usando a fórmula simplificada:
m = \sqrt{\frac{2h}{k t}}.
Substituindo os valores (todos em SI):
m = \sqrt{\frac{2\cdot 18}{37\cdot 0{,}03}}.
Calcule o denominador e numerador:
\frac{2\cdot 18}{37\cdot 0{,}03}=\frac{36}{1{,}11}\approx 32{,}4324,
portanto
m \approx \sqrt{32{,}4324}\approx 5{,}695\\ \mathrm{m^{-1}}.
O produto adimensional mL vale
mL = 5{,}695\cdot 0{,}08 \approx 0{,}4556.
Agora calculemos o parâmetro de ponta:
\frac{h}{m k} = \frac{18}{5{,}695\cdot 37}\approx \frac{18}{210{,}615}\approx 0{,}0855.
Esse valor é bem pequeno (muito menor que 1), o que significa que a correção da ponta por convecção é pequena; portanto a aproximação com a expressão simples \operatorname{tanh}(mL) é válida e com boa precisão. Bom — podemos seguir com as fórmulas usadas no passo anterior.

Passo 4

Calcule a eficiência da aleta \eta.
A eficiência é
\eta = \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Com mL \approx 0{,}4556 temos
\operatorname{tanh}(mL) = \operatorname{tanh}(0{,}4556)\approx 0{,}42774,
logo
\eta \approx \frac{0{,}42774}{0{,}4556}\approx 0{,}9389.
Arredondando, a eficiência de cada aleta é aproximadamente
\eta \approx 0{,}939\quad(\text{ou }93{,}9\%).
Explicação didática rápida: isso significa que a aleta opera bastante bem — a temperatura ao longo dela não cai muito até a ponta (porque mL é relativamente pequeno), então a maior parte da área da aleta contribui quase tanto quanto se estivesse à temperatura da base.

Passo 5

Calcule a transferência de calor por aleta q_f.
Usamos a expressão simplificada:
q_f = H\sqrt{2 h k t}\, \Delta T\, \operatorname{tanh}(mL).
Calcule primeiro a raiz:
2 h k t = 2\cdot 18\cdot 37\cdot 0{,}03 = 39{,}96,
\sqrt{2 h k t} = \sqrt{39{,}96}\approx 6{,}319.
Agora:
q_f = 3{,}50\cdot 6{,}319\cdot 46\cdot 0{,}42774.
Multiplicando passo a passo:
6{,}319\cdot 46 \approx 290{,}71,
290{,}71\cdot 0{,}42774 \approx 124{,}49,
124{,}49\cdot 3{,}50 \approx 435{,}7\\ \mathrm{W}.
Portanto cada aleta transfere aproximadamente
q_f \approx 435{,}7\\ \mathrm{W}.
(Verificação alternativa: usando a fórmula geral \sqrt{hPkA_c}\,(T_b-T_\infty)\operatorname{tanh}(mL) com P\approx 2H e A_c=tH dá o mesmo valor numérico.)

Passo 6

Calcule a área da aleta A_f e a área da base A_b; depois a eficiência via definição e a efetividade \varepsilon.
A área de superfície exposta de cada aleta é
A_f = H(2L + t) = 3{,}50\big(2\cdot 0{,}08 + 0{,}03\big) = 3{,}50\cdot 0{,}19 = 0{,}665\\ \mathrm{m^2}.
A área da base da aleta é
A_b = H t = 3{,}50\cdot 0{,}03 = 0{,}105\\ \mathrm{m^2}.
Podemos verificar a eficiência pela fórmula alternativa
\eta = \frac{q_f}{h A_f \Delta T}.
Compute o denominador:
h A_f \Delta T = 18\cdot 0{,}665\cdot 46 \approx 549{,}6\\ \mathrm{W}.
Então
\eta = \frac{435{,}7}{549{,}6}\approx 0{,}793.
Atenção: esse valor 0{,}793 NÃO é a eficiência que definimos antes; isso indica que você não pode usar A_f que inclui as duas faces e a ponta junto com a expressão q_f = H\sqrt{2 h k t}\Delta T\operatorname{tanh}(mL) sem observar que a eficiência definida por \eta=\operatorname{tanh}(mL)/(mL) corresponde ao caso de comparar com a área da aleta considerada apenas nas faces principais (e há diferenças de convenções). Para manter coerência com a convenção pedida no enunciado (a eficiência de cada aleta), a fórmula padrão adotada é
\eta = \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL},
que já calculamos e vale \approx 0{,}939. (Essa é a definição usada com mais frequência em problemas de prova — é a eficiência intrínseca da aleta.)
Agora a efetividade \varepsilon (comparando com a transferência que teria a área da base sem aleta) é
\varepsilon = \frac{q_f}{h A_b \Delta T}.
Calcule o denominador:
h A_b \Delta T = 18\cdot 0{,}105\cdot 46 = 86{,}94\\ \mathrm{W}.
Logo
\varepsilon = \frac{435{,}7}{86{,}94}\approx 5{,}01.
Isso significa que cada aleta aumenta a transferência de calor correspondente à sua área de base por cerca de um fator 5. (Isto é, a presença da aleta faz com que a “pegada” de 0{,}105\\ \mathrm{m^2} transfira como se fosse cerca de 0{,}105\cdot 5{,}01 de área exposta sem aleta.)

Passo 7

Calcule a taxa total de transferência de calor da superfície aletada Q_\text{total}.
A perda total pela superfície aletada é soma da contribuição de todas as aletas mais a convecção da área livre entre as aletas:
Q_\text{total} = N\cdot q_f + h A_\text{livre}\Delta T.
Já temos N\cdot q_f = 25\cdot 435{,}7 \approx 10\,893\\ \mathrm{W}.
Para a área livre entre as aletas calculamos anteriormente:
A_\text{livre} = 1{,}575\\ \mathrm{m^2}.
Então a perda por essa área é
Q_\text{livre} = h A_\text{livre}\Delta T = 18\cdot 1{,}575\cdot 46 \approx 1\,304{,}1\\ \mathrm{W}.
Somando:
Q_\text{total} \approx 10\,893 + 1\,304{,}1 \approx 12\,197{,}1\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas relevantes), obtemos
Q_\text{total} \approx 1{,}22\times 10^{4}\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox. }12{,}2\\ \mathrm{kW}).

Resposta

\eta \approx 0{,}939\
\varepsilon \approx 5{,}01\
Q_{\text{total}} \approx 1{,}22\times 10^{4}\\ \mathrm{W}

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