Questão 9 - Uma espira metálica quadrada (de lado a) é colocada próxima (a uma distância S) a um fio metálico retilíneo e infinito que transporta uma corrente I.
A) Qual o fluxo do campo magnético através da espira?
B) Se alguém puxar a espira com velocidade
, qual será a força eletromotriz induzida? Em que sentido (horário ou anti-horário) fluirá a corrente elétrica?
C) E se a velocidade for
, qual será a força eletromotriz induzida?
OBS: Lembre-se que o campo magnético do fio retilíneo e infinito é dado por:
.
A) Qual o fluxo do campo magnético através da espira?
B) Se alguém puxar a espira com velocidade
C) E se a velocidade for
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (A) Calcular o fluxo do campo magnético através da espira quadrada de lado
, cuja aresta inferior está à distância do fio retilíneo infinito que carrega corrente . - (B) Se a espira for puxada com velocidade
(i.e. afastando-se radialmente do fio, aumentando a distância ), calcular a força eletromotriz induzida e dizer em que sentido (horário ou anti-horário) fluirá a corrente. - (C) Se a velocidade for
(i.e. deslizando paralelamente ao fio), calcular a força eletromotriz induzida.
Informações dadas e relevantes:
- Lado da espira:
. - Distância entre o fio e a aresta inferior da espira:
. - Corrente no fio:
. - Campo magnético do fio retilíneo infinito:
, onde é a distância radial ao fio e é a direção azimutal (tangente à circunferência em torno do fio). - Observação sobre a figura: a espira está no plano da página; para simplificar a conta escolhemos coordenadas em que o fio coincide com o eixo
, a direção radial (distância até o fio) é (medida ao longo do eixo da figura) e o plano da espira é o plano . No plano tem-se , ou seja, o campo é perpendicular ao plano da espira e entra/sai da espira — isso permite calcular fluxo por integração.
Passo 2
Entender o que é fluxo magnético e como calculá‑lo:
- Definição: o fluxo magnético através de uma superfície
é
onde
é o elemento de área com orientação
.
- Aqui a espira é um quadrado de lado
, podemos parametrizar sua área com coordenadas : varia da aresta inferior até a superior e ao longo da aresta vertical. Tomamos variando de até e variando de até . O elemento de área é . - No plano escolhido (plano
, que é o plano da espira), a normal orientada convenientemente é . No plano temos , portanto é paralelo a e .
Passo 3
Calcular o fluxo (resolvendo A) — passo a passo e explicando cada termo:
- O módulo do campo magnético no ponto a distância
do fio é . - O fluxo é
- Como a integranda não depende de
, fazemos a integral em primeiro:
- A integral
. Portanto:
Essa é a resposta para (A): fluxo positivo se tomarmos
na mesma direção de
em
.
Passo 4
Força eletromotriz induzida quando a espira é puxada radialmente (
) — uso de Lei de Faraday e Lenz (resolvendo B):
- Lei de Faraday (valor absoluto e sinal): a fem induzida em uma espira é
onde o sinal garante que a corrente induzida tende a se opor à variação do fluxo (Lenz).
- Aqui
depende de ; ao afastar a espira radialmente temos . Vamos derivar em função do tempo. - Da expressão do passo anterior:
Calcule a derivada temporal usando
:
- Substituindo
e fazendo a conta dentro do parêntesis:
Logo
- A força eletromotriz então é
Esse é o valor absoluto da fem induzida. Note que aqui o sinal já foi levado em conta pela fórmula: como
é negativo (o fluxo diminui quando a espira se afasta),
resulta positivo no sentido escolhido de percorre-circuito associado ao
.
Passo 5
Sentido da corrente induzida (continuação do item B) — aplicação de Lenz:
- Quando a espira é afastada, o fluxo através dela diminui (
). Pela regra de Lenz a corrente induzida cria um campo magnético que tenta aumentar o fluxo perdido, ou seja, o campo induzido tem a mesma direção do campo original dentro da espira. - No nosso sistema o campo original que atravessa a espira tem direção igual a
em , que escolhemos igual a (para fixar ideias, é a direção perpendicular ao plano da espira apontando para quem está do lado positivo de ). Para produzir um campo no mesmo sentido (próprio a aumentar o fluxo), a corrente induzida, vista do lado , deve circular no sentido anti-horário (regra da mão direita: polegar aponta para , dedos mostram sentido da corrente). - Portanto: o sentido da corrente induzida é anti-horário quando vista da face para a qual
(isto é, do lado do fio, no nosso esquema).
Passo 6
Caso C: movimento paralelo ao fio (
):
- Se a espira desliza ao longo da direção do fio, a distância radial
entre o fio e a espira não muda. Como a expressão do fluxo depende apenas de (e de e , constantes), temos . - Pela Lei de Faraday:
Portanto não há fem induzida nesse caso.