Questão 9 - Uma espira metálica quadrada (de lado a) é colocada próxima (a uma distância S) a um fio metálico retilíneo e infinito que transporta uma corrente I.
A) Qual o fluxo do campo magnético através da espira?
B) Se alguém puxar a espira com velocidade \vec{v}=v_{0} \widehat{S}, qual será a força eletromotriz induzida? Em que sentido (horário ou anti-horário) fluirá a corrente elétrica?
C) E se a velocidade for \vec{v}=v_{0} \hat{z}, qual será a força eletromotriz induzida?
OBS: Lembre-se que o campo magnético do fio retilíneo e infinito é dado por: \vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi S} \hat{\varphi}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (A) Calcular o fluxo do campo magnético através da espira quadrada de lado a, cuja aresta inferior está à distância S do fio retilíneo infinito que carrega corrente I.
  • (B) Se a espira for puxada com velocidade \vec{v}=v_{0}\,\hat{s} (i.e. afastando-se radialmente do fio, aumentando a distância S), calcular a força eletromotriz induzida e dizer em que sentido (horário ou anti-horário) fluirá a corrente.
  • (C) Se a velocidade for \vec{v}=v_{0}\,\hat{z} (i.e. deslizando paralelamente ao fio), calcular a força eletromotriz induzida.
Informações dadas e relevantes:
  • Lado da espira: a.
  • Distância entre o fio e a aresta inferior da espira: S.
  • Corrente no fio: I.
  • Campo magnético do fio retilíneo infinito: \displaystyle \vec{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi s}\,\hat{\varphi}, onde s é a distância radial ao fio e \hat{\varphi} é a direção azimutal (tangente à circunferência em torno do fio).
  • Observação sobre a figura: a espira está no plano da página; para simplificar a conta escolhemos coordenadas em que o fio coincide com o eixo z, a direção radial (distância até o fio) é s (medida ao longo do eixo x da figura) e o plano da espira é o plano x\!-\!z. No plano \varphi=0 tem-se \hat{\varphi}=\hat{y}, ou seja, o campo \vec{B} é perpendicular ao plano da espira e entra/sai da espira — isso permite calcular fluxo por integração.

Passo 2

Entender o que é fluxo magnético e como calculá‑lo:
  • Definição: o fluxo magnético através de uma superfície S é
\Phi=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A},
onde d\vec{A}=\hat{n}\,dA é o elemento de área com orientação \hat{n}.
  • Aqui a espira é um quadrado de lado a, podemos parametrizar sua área com coordenadas (s,z): s varia da aresta inferior até a superior e z ao longo da aresta vertical. Tomamos s variando de S até S+a e z variando de 0 até a. O elemento de área é dA = ds\,dz.
  • No plano escolhido (plano x\!-\!z, que é o plano da espira), a normal orientada convenientemente é \hat{n}=\hat{y}. No plano \varphi=0 temos \hat{\varphi}=\hat{y}, portanto \vec{B} é paralelo a \hat{n} e \vec{B}\cdot\hat{n}=B.

Passo 3

Calcular o fluxo (resolvendo A) — passo a passo e explicando cada termo:
  • O módulo do campo magnético no ponto a distância s do fio é \displaystyle B(s)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi s}.
  • O fluxo é
\Phi=\iint_{S} \vec{B}\cdot d\vec{A} =\int_{z=0}^{a}\int_{s=S}^{S+a} \frac{\mu_{0}I}{2\pi s}\,ds\,dz.
  • Como a integranda não depende de z, fazemos a integral em z primeiro:
\Phi=\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\int_{s=S}^{S+a}\frac{1}{s}\left(\int_{0}^{a}dz\right)ds =\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\,a\int_{S}^{S+a}\frac{1}{s}\,ds.
  • A integral \displaystyle \int_{S}^{S+a}\frac{1}{s}\,ds=\ln\!\left(\frac{S+a}{S}\right). Portanto:
\boxed{\displaystyle \Phi=\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\,\ln\!\bigg(\frac{S+a}{S}\bigg).}
Essa é a resposta para (A): fluxo positivo se tomarmos \hat{n} na mesma direção de \hat{\varphi} em \varphi=0.

Passo 4

Força eletromotriz induzida quando a espira é puxada radialmente ( \vec{v}=v_{0}\,\hat{s}) — uso de Lei de Faraday e Lenz (resolvendo B):
  • Lei de Faraday (valor absoluto e sinal): a fem induzida em uma espira é
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt},
onde o sinal garante que a corrente induzida tende a se opor à variação do fluxo (Lenz).
  • Aqui \Phi depende de S; ao afastar a espira radialmente temos dS/dt=v_{0}. Vamos derivar \Phi(S) em função do tempo.
  • Da expressão do passo anterior:
\Phi(S)=\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\ln\!\Big(\frac{S+a}{S}\Big).
Calcule a derivada temporal usando dS/dt=v_{0}:
\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\frac{d}{dt}\Big[\ln(S+a)-\ln S\Big] =\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\Big(\frac{1}{S+a}-\frac{1}{S}\Big)\frac{dS}{dt}.
  • Substituindo \dfrac{dS}{dt}=v_{0} e fazendo a conta dentro do parêntesis:
\frac{1}{S+a}-\frac{1}{S}=\frac{S-(S+a)}{S(S+a)}=-\frac{a}{S(S+a)}.
Logo
\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\Big(-\frac{a}{S(S+a)}\Big)v_{0} =-\frac{\mu_{0}I\,a^{2}v_{0}}{2\pi S(S+a)}.
  • A força eletromotriz então é
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt} =\boxed{\displaystyle \frac{\mu_{0}I\,a^{2}v_{0}}{2\pi S(S+a)}}.
Esse é o valor absoluto da fem induzida. Note que aqui o sinal já foi levado em conta pela fórmula: como d\Phi/dt é negativo (o fluxo diminui quando a espira se afasta), \mathcal{E} resulta positivo no sentido escolhido de percorre-circuito associado ao \hat{n}.

Passo 5

Sentido da corrente induzida (continuação do item B) — aplicação de Lenz:
  • Quando a espira é afastada, o fluxo através dela diminui ( d\Phi/dt<0). Pela regra de Lenz a corrente induzida cria um campo magnético que tenta aumentar o fluxo perdido, ou seja, o campo induzido tem a mesma direção do campo original dentro da espira.
  • No nosso sistema o campo original que atravessa a espira tem direção igual a \hat{\varphi} em \varphi=0, que escolhemos igual a \hat{y} (para fixar ideias, é a direção perpendicular ao plano da espira apontando para quem está do lado positivo de y). Para produzir um campo no mesmo sentido (próprio a aumentar o fluxo), a corrente induzida, vista do lado +\hat{y}, deve circular no sentido anti-horário (regra da mão direita: polegar aponta para \hat{y}, dedos mostram sentido da corrente).
  • Portanto: o sentido da corrente induzida é anti-horário quando vista da face para a qual \hat{n}=\hat{y} (isto é, do lado do fio, no nosso esquema).

Passo 6

Caso C: movimento paralelo ao fio ( \vec{v}=v_{0}\,\hat{z}):
  • Se a espira desliza ao longo da direção do fio, a distância radial S entre o fio e a espira não muda. Como a expressão do fluxo \Phi depende apenas de S (e de a e I, constantes), temos d\Phi/dt=0.
  • Pela Lei de Faraday:
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt}=0.
Portanto não há fem induzida nesse caso.

Resposta

\displaystyle \Phi=\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\ln\!\Big(\frac{S+a}{S}\Big)
\displaystyle \mathcal{E}=\frac{\mu_{0}I\,a^{2}v_{0}}{2\pi S(S+a)} ; sentido da corrente: anti‑horário (visto da face para a qual o vetor normal \hat{n} aponta, isto é, do lado do fio)
\displaystyle \mathcal{E}=0

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