Questão 11 - Um transformador ideal (sem resistências internas) conectado a uma fonte AC com uma voltagem eficaz de 120 V deve fornecer uma tensão com valor eficaz de 12 V a um dispositivo eletrônico portátil. A resistência equivalente total do dispositivo é igual a 6 \Omega.
a) Calcule a razão entre o número de espiras do primário e o número de espiras do secundário desse transformador.
b) Calcule o valor eficaz da corrente no circuito secundário.
c) Calcule a potência média fornecida ao dispositivo.
d) Calcule o valor eficaz da corrente no circuito primário.
e) Calcule o valor da resistência equivalente efetiva que deveria ser conectada diretamente à fonte de 120 V para que ela consumisse a mesma potência fornecida ao transformador.
f) Mostre que no caso geral a resistência equivalente efetiva será dada por \mathrm{R}\left(\mathrm{N}_{1} / \mathrm{N}_{2}\right)^{2}\.
Obs.: A potência média dissipada é dada por \mathrm{P}_{\text {Média }}=\mathrm{V}_{\mathrm{Ef} .} \mathrm{I}_{\mathrm{Ef} .}\é.

Passo 1

O enunciado dá um transformador ideal (sem resistências internas) ligado a uma fonte AC e pede várias quantidades relacionadas ao circuito. Perguntas e dados fornecidos:
  • Perguntas:
    a) Calcular a razão entre o número de espiras do primário e do secundário.
    b) Calcular o valor eficaz da corrente no circuito secundário.
    c) Calcular a potência média fornecida ao dispositivo.
    d) Calcular o valor eficaz da corrente no circuito primário.
    e) Calcular a resistência equivalente que, conectada diretamente à fonte de 120\\ \mathrm{V}, consumiria a mesma potência fornecida ao transformador.
    f) Mostrar que, no caso geral, a resistência equivalente efetiva é \mathrm{R}\left(\mathrm{N}_{1}/\mathrm{N}_{2}\right)^{2}.
  • Dados numéricos fornecidos:
    \;V_{1,\mathrm{ef}}=120\\ \mathrm{V} (tensão eficaz no primário),
    \;V_{2,\mathrm{ef}}=12\\ \mathrm{V} (tensão eficaz desejada no secundário),
    \;R=6\\ \Omega (resistência equivalente do dispositivo ligado ao secundário).
Observação: a resolução começa efetivamente no próximo passo.

Passo 2

Conceptos fundamentais que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Transformador ideal: é um dispositivo que transforma tensão e corrente entre primário e secundário sem perdas. Duas relações essenciais para um transformador ideal são:
    • Razão de tensões é igual à razão de espiras:
    \frac{V_{1,\mathrm{ef}}}{V_{2,\mathrm{ef}}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}.
    Aqui \;V_{1,\mathrm{ef}} é a tensão eficaz no primário, \;V_{2,\mathrm{ef}} no secundário, \;N_{1} é o número de espiras do primário e \;N_{2} do secundário.
    • Razão de correntes é inversa da razão de espiras:
    \frac{I_{1,\mathrm{ef}}}{I_{2,\mathrm{ef}}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}.
    Aqui \;I_{1,\mathrm{ef}} é a corrente eficaz no primário e \;I_{2,\mathrm{ef}} no secundário.
  • Conservação de potência (no transformador ideal): potência aparente fornecida ao primário é igual à potência entregue no secundário (ignorando perdas):
    V_{1,\mathrm{ef}}I_{1,\mathrm{ef}}=V_{2,\mathrm{ef}}I_{2,\mathrm{ef}}.
  • Potência média dissipada em uma resistência ôhmica: se a tensão eficaz sobre a resistência for \;V_{\mathrm{ef}} e a corrente eficaz for \;I_{\mathrm{ef}}, a potência média é
    P_{\mathrm{média}}=V_{\mathrm{ef}}I_{\mathrm{ef}}.é
    Alternativamente, P_{\mathrm{média}}=I_{\mathrm{ef}}^{2}Ré ou P_{\mathrm{média}}=V_{\mathrm{ef}}^{2}/Ré.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos dados do problema.

Passo 3

(a) Calcular a razão entre o número de espiras do primário e do secundário.
Pela relação de tensões do transformador ideal:
\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{V_{1,\mathrm{ef}}}{V_{2,\mathrm{ef}}}.
Substituindo \;V_{1,\mathrm{ef}}=120\\ \mathrm{V} e \;V_{2,\mathrm{ef}}=12\\ \mathrm{V},
\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{120}{12}=10.
Portanto a razão pedida é \;10.

Passo 4

(b) Calcular o valor eficaz da corrente no circuito secundário.
O dispositivo no secundário é uma resistência ôhmica \;R=6\\ \Omega. Pela lei de Ohm para grandezas eficazes:
I_{2,\mathrm{ef}}=\frac{V_{2,\mathrm{ef}}}{R}.
Substituindo \;V_{2,\mathrm{ef}}=12\\ \mathrm{V} e \;R=6\\ \Omega,
I_{2,\mathrm{ef}}=\frac{12}{6}=2\\ \mathrm{A}.

Passo 5

(c) Calcular a potência média fornecida ao dispositivo.
Usando a fórmula da potência média P_{\mathrm{média}}=V_{\mathrm{ef}}I_{\mathrm{ef}}é no secundário:
P_{\mathrm{média}}=V_{2,\mathrm{ef}}I_{2,\mathrm{ef}}.é
Substituindo \;V_{2,\mathrm{ef}}=12\\ \mathrm{V} e \;I_{2,\mathrm{ef}}=2\\ \mathrm{A},
P_{\mathrm{média}}=12\times 2=24\\ \mathrm{W}.é
Verificação alternativa (opcional, por segurança): P_{\mathrm{média}}=I_{2,\mathrm{ef}}^{2}R=2^{2}\times 6=4\times 6=24\\ \mathrm{W}é. Confere.

Passo 6

(d) Calcular o valor eficaz da corrente no circuito primário.
Usando conservação de potência no transformador ideal:
V_{1,\mathrm{ef}}I_{1,\mathrm{ef}}=V_{2,\mathrm{ef}}I_{2,\mathrm{ef}}.
Então
I_{1,\mathrm{ef}}=\frac{V_{2,\mathrm{ef}}I_{2,\mathrm{ef}}}{V_{1,\mathrm{ef}}}.
Substituindo valores \;V_{2,\mathrm{ef}}=12\\ \mathrm{V}, \;I_{2,\mathrm{ef}}=2\\ \mathrm{A}, \;V_{1,\mathrm{ef}}=120\\ \mathrm{V},
I_{1,\mathrm{ef}}=\frac{12\times 2}{120}=\frac{24}{120}=0{,}2\\ \mathrm{A}.
Alternativamente, usando a relação de correntes \;I_{1,\mathrm{ef}}=I_{2,\mathrm{ef}}\dfrac{N_{2}}{N_{1}}=2\times\dfrac{1}{10}=0{,}2\\ \mathrm{A}, mesma resposta.

Passo 7

(e) Calcular a resistência equivalente que, conectada diretamente à fonte de \;120\\ \mathrm{V}, consumiria a mesma potência fornecida ao transformador.
Queremos \;R_{\mathrm{eq}} tal que a potência consumida por essa resistência submetida a \;V_{1,\mathrm{ef}}=120\\ \mathrm{V} seja P_{\mathrm{média}}=24\\ \mathrm{W}é. Usando P=V^{2}/R isolamos R:
R_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{1,\mathrm{ef}}^{2}}{P_{\mathrm{média}}}.é
Substituindo \;V_{1,\mathrm{ef}}=120\\ \mathrm{V} e \;P_{\mathrm{média}}=24\\ \mathrm{W}é,
R_{\mathrm{eq}}=\frac{120^{2}}{24}=\frac{14400}{24}=600\\ \Omega.
Portanto, uma resistência de \;600\\ \Omega ligada diretamente à fonte consumiria a mesma potência.

Passo 8

(f) Mostrar que, no caso geral, a resistência equivalente efetiva será dada por \mathrm{R}\left(\mathrm{N}_{1}/\mathrm{N}_{2}\right)^{2}.
Vou apresentar duas derivações curtas e equivalentes (ambas didáticas):
Método 1 — usando tensões:
  • A resistência no secundário é R. A tensão no primário e no secundário estão relacionadas por \frac{V_{1,\mathrm{ef}}}{V_{2,\mathrm{ef}}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}.
  • A resistência equivalente vista do primário é definida como R_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{1,\mathrm{ef}}}{I_{1,\mathrm{ef}}}.Mas no secundário V_{2,\mathrm{ef}}^{2}=P\cdot R e, para quem está no primário, a mesma potência que atravessa o secundário também aparece no primário (transformador ideal), então podemos escrever a relação entre tensões e resistências: R_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{1,\mathrm{ef}}^{2}}{P} \quad\text{e}\quad R=\frac{V_{2,\mathrm{ef}}^{2}}{P}.Dividindo as duas expressões: \frac{R_{\mathrm{eq}}}{R}=\frac{V_{1,\mathrm{ef}}^{2}}{V_{2,\mathrm{ef}}^{2}}=\left(\frac{V_{1,\mathrm{ef}}}{V_{2,\mathrm{ef}}}\right)^{2}.Como \dfrac{V_{1,\mathrm{ef}}}{V_{2,\mathrm{ef}}}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}, obtemos R_{\mathrm{eq}}=R\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}.
Método 2 — usando relações de corrente e definição direta de impedância vista do primário:
  • Do transformador ideal, \dfrac{I_{1,\mathrm{ef}}}{I_{2,\mathrm{ef}}}=\dfrac{N_{2}}{N_{1}}. Logo I_{1,\mathrm{ef}}=I_{2,\mathrm{ef}}\frac{N_{2}}{N_{1}}.
  • A impedância equivalente vista do primário é R_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{1,\mathrm{ef}}}{I_{1,\mathrm{ef}}}.Mas V_{1,\mathrm{ef}}=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}V_{2,\mathrm{ef}}. Substituindo V_{1,\mathrm{ef}} e I_{1,\mathrm{ef}}, R_{\mathrm{eq}}=\frac{\dfrac{N_{1}}{N_{2}}V_{2,\mathrm{ef}}}{I_{2,\mathrm{ef}}\dfrac{N_{2}}{N_{1}}} =\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}\frac{V_{2,\mathrm{ef}}}{I_{2,\mathrm{ef}}}.Mas \dfrac{V_{2,\mathrm{ef}}}{I_{2,\mathrm{ef}}}=R. Portanto R_{\mathrm{eq}}=R\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}.
Ambos os métodos chegam à mesma expressão pedida:
R_{\mathrm{eq}}=R\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{N_{1}}{N_{2}}=10
b) \displaystyle I_{2,\mathrm{ef}}=2\\ \mathrm{A}
c) \displaystyle P_{\mathrm{média}}=24\\ \mathrm{W}é
d) \displaystyle I_{1,\mathrm{ef}}=0{,}2\\ \mathrm{A}
e) \displaystyle R_{\mathrm{eq}}=600\\ \Omega
f) \displaystyle R_{\mathrm{eq}}=R\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}

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