Questão 11 - Um transformador ideal (sem resistências internas) conectado a uma fonte AC com uma voltagem eficaz de 120 V deve fornecer uma tensão com valor eficaz de 12 V a um dispositivo eletrônico portátil. A resistência equivalente total do dispositivo é igual a
.
a) Calcule a razão entre o número de espiras do primário e o número de espiras do secundário desse transformador.
b) Calcule o valor eficaz da corrente no circuito secundário.
c) Calcule a potência média fornecida ao dispositivo.
d) Calcule o valor eficaz da corrente no circuito primário.
e) Calcule o valor da resistência equivalente efetiva que deveria ser conectada diretamente à fonte de 120 V para que ela consumisse a mesma potência fornecida ao transformador.
f) Mostre que no caso geral a resistência equivalente efetiva será dada por
.
Obs.: A potência média dissipada é dada por
.
a) Calcule a razão entre o número de espiras do primário e o número de espiras do secundário desse transformador.
b) Calcule o valor eficaz da corrente no circuito secundário.
c) Calcule a potência média fornecida ao dispositivo.
d) Calcule o valor eficaz da corrente no circuito primário.
e) Calcule o valor da resistência equivalente efetiva que deveria ser conectada diretamente à fonte de 120 V para que ela consumisse a mesma potência fornecida ao transformador.
f) Mostre que no caso geral a resistência equivalente efetiva será dada por
Obs.: A potência média dissipada é dada por
Passo 1
O enunciado dá um transformador ideal (sem resistências internas) ligado a uma fonte AC e pede várias quantidades relacionadas ao circuito. Perguntas e dados fornecidos:
-
Perguntas:
a) Calcular a razão entre o número de espiras do primário e do secundário.
b) Calcular o valor eficaz da corrente no circuito secundário.
c) Calcular a potência média fornecida ao dispositivo.
d) Calcular o valor eficaz da corrente no circuito primário.
e) Calcular a resistência equivalente que, conectada diretamente à fonte de, consumiria a mesma potência fornecida ao transformador.
f) Mostrar que, no caso geral, a resistência equivalente efetiva é. -
Dados numéricos fornecidos:
(tensão eficaz no primário),
(tensão eficaz desejada no secundário),
(resistência equivalente do dispositivo ligado ao secundário).
Observação: a resolução começa efetivamente no próximo passo.
Passo 2
Conceptos fundamentais que vamos usar (explicados de forma simples):
-
Transformador ideal: é um dispositivo que transforma tensão e corrente entre primário e secundário sem perdas. Duas relações essenciais para um transformador ideal são:
- Razão de tensões é igual à razão de espiras:
Aquié a tensão eficaz no primário, no secundário, é o número de espiras do primário e do secundário. - Razão de correntes é inversa da razão de espiras:
Aquié a corrente eficaz no primário e no secundário. -
Conservação de potência (no transformador ideal): potência aparente fornecida ao primário é igual à potência entregue no secundário (ignorando perdas):
-
Potência média dissipada em uma resistência ôhmica: se a tensão eficaz sobre a resistência for
e a corrente eficaz for , a potência média é Alternativamente,ou .
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos dados do problema.
Passo 3
(a) Calcular a razão entre o número de espiras do primário e do secundário.
Pela relação de tensões do transformador ideal:
Substituindo
e
,
Portanto a razão pedida é
.
Passo 4
(b) Calcular o valor eficaz da corrente no circuito secundário.
O dispositivo no secundário é uma resistência ôhmica
. Pela lei de Ohm para grandezas eficazes:
Substituindo
e
,
Passo 5
(c) Calcular a potência média fornecida ao dispositivo.
Usando a fórmula da potência média
no secundário:
Substituindo
e
,
Verificação alternativa (opcional, por segurança):
. Confere.
Passo 6
(d) Calcular o valor eficaz da corrente no circuito primário.
Usando conservação de potência no transformador ideal:
Então
Substituindo valores
,
,
,
Alternativamente, usando a relação de correntes
, mesma resposta.
Passo 7
(e) Calcular a resistência equivalente que, conectada diretamente à fonte de
, consumiria a mesma potência fornecida ao transformador.
Queremos
tal que a potência consumida por essa resistência submetida a
seja
. Usando
isolamos
:
Substituindo
e
,
Portanto, uma resistência de
ligada diretamente à fonte consumiria a mesma potência.
Passo 8
(f) Mostrar que, no caso geral, a resistência equivalente efetiva será dada por
.
Vou apresentar duas derivações curtas e equivalentes (ambas didáticas):
Método 1 — usando tensões:
- A resistência no secundário é
. A tensão no primário e no secundário estão relacionadas por - A resistência equivalente vista do primário é definida como
Mas no secundário e, para quem está no primário, a mesma potência que atravessa o secundário também aparece no primário (transformador ideal), então podemos escrever a relação entre tensões e resistências: Dividindo as duas expressões: Como , obtemos
Método 2 — usando relações de corrente e definição direta de impedância vista do primário:
- Do transformador ideal,
. Logo - A impedância equivalente vista do primário é
Mas . Substituindo e , Mas . Portanto
Ambos os métodos chegam à mesma expressão pedida:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)