Questão 7 - Um solenoide infinito, de raio A, é percorrido por uma corrente alternada, de forma que o campo magnético em seu interior é dado \operatorname{por} \vec{B}_{(t)}=B_{0} \cos (\omega t) \hat{z}. Uma espira circular, de raio \mathrm{A} / 2 e resistência R, é colocada dentro do solenoide de forma que o eixo do solenoide fica perpendicular ao plano do espira. Obtenha a corrente induzida na espira.

Passo 1

O enunciado pede que eu obtenha a corrente induzida na espira circular colocada dentro do solenoide. Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Raio do solenoide: A.
  • Campo magnético no interior do solenoide: \vec{B}(t)=B_{0}\cos(\omega t)\,\hat{z}.
  • Há uma espira circular de raio A/2 e resistência R colocada dentro do solenoide, com o eixo do solenoide perpendicular ao plano da espira (logo o campo \vec{B} atravessa a espira normalmente).
  • Quero a corrente induzida na espira como função do tempo (e também a indicação do sentido dessa corrente).

Passo 2

Entender o fluxo magnético e como calculá-lo. O fluxo magnético \Phi através de uma superfície é definido como a soma (integral) do produto escalar entre o campo magnético e um elemento de área:
\Phi(t)=\int_{S}\vec{B}(t)\cdot d\vec{A}.
Explicando: d\vec{A} é o vetor área, cujo módulo é um pedaço infinitesimal de área e cuja direção é a normal à superfície (aqui escolhemos a normal apontando para +\hat{z}). Se \vec{B} for uniforme sobre a área da espira e estiver alinhado com a normal, o integral vira produto simples:
\Phi(t)=B(t)\times (\text{área da espira}).á
A área S da espira de raio A/2 é
\text{área}=\pi\left(\frac{A}{2}\right)^{2}=\frac{\pi A^{2}}{4}.á
Como \vec{B}(t)=B_{0}\cos(\omega t)\,\hat{z} e está perpendicular ao plano da espira, o fluxo é
\Phi(t)=B_{0}\cos(\omega t)\cdot \frac{\pi A^{2}}{4}.

Passo 3

Aplicar a Lei de Faraday para achar a fem induzida. A Lei de Faraday diz que a força eletromotriz (fem) induzida na espira é menos a taxa de variação do fluxo magnético:
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}.
Vou derivar \Phi(t). Como \Phi(t)=\dfrac{\pi A^{2}}{4}\,B_{0}\cos(\omega t), derivando em relação ao tempo:
\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\pi A^{2}}{4}\,B_{0}\,\frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big).
Lembrando que a derivada de \cos(\omega t) é -\omega\sin(\omega t), obtemos
\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\pi A^{2}}{4}\,B_{0}\,(-\omega\sin(\omega t))=-\frac{\pi A^{2}B_{0}\omega}{4}\sin(\omega t).
Agora a fem é
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}=-\left(-\frac{\pi A^{2}B_{0}\omega}{4}\sin(\omega t)\right)=\frac{\pi A^{2}B_{0}\omega}{4}\sin(\omega t).
Pequena interpretação didática: o sinal negativo da Lei de Faraday indica que a fem aparece no sentido que tende a se opor à variação do fluxo (isso é o princípio de Lenz). O resultado acima dá a magnitude e o sinal da fem para a convenção de normal que escolhemos.

Passo 4

Relacionar a fem com a corrente via Lei de Ohm (para a espira resistiva): a corrente induzida I(t) satisfaz
\mathcal{E}(t)=R\,I(t),
assumindo que a espira não tem indutância significativa própria ou que queremos a corrente instantânea dada pela resistência. Assim,
I(t)=\frac{\mathcal{E}(t)}{R}=\frac{1}{R}\cdot\frac{\pi A^{2}B_{0}\omega}{4}\sin(\omega t).
Portanto
I(t)=\frac{\pi A^{2}B_{0}\omega}{4R}\,\sin(\omega t).

Passo 5

Explicar o sentido da corrente usando Lenz e a convenção de normal. Adotei a normal da espira apontando para +\hat{z}. Pelo regra da mão direita, uma corrente que circule no sentido anti-horário (visto de cima, isto é, vista no sentido de +\hat{z}) produz um campo magnético resultante apontando para +\hat{z}. Logo:
  • Quando \sin(\omega t)>0 a expressão acima dá I>0: a corrente é no sentido anti-horário vista de +\hat{z}.
  • Quando \sin(\omega t)<0 a corrente muda de sinal e circula no sentido horário vista de +\hat{z}.
    Físicamente isso corresponde ao fato de que a corrente induzida cria um campo que se opõe à variação do campo \vec{B} original, conforme a Lei de Lenz.

Passo 6

Casos particulares (para intuir o comportamento):
  • Em t=0: \cos(0)=1 e \sin(0)=0 -> I(0)=0. O campo é máximo, mas no instante inicial não há variação instantânea do fluxo.
  • Em t=\pi/(2\omega): \cos=0 e \sin=1 -> corrente máxima I_{\max}=\dfrac{\pi A^{2}B_{0}\omega}{4R}.

Resposta

I(t)=\frac{\pi A^{2}B_{0}\omega}{4R}\,\sin(\omega t).
Sentido: para a normal apontando em +\hat{z}, a corrente é anti-horária vista de +\hat{z} quando \sin(\omega t)>0 e horária quando \sin(\omega t)<0.

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