Questão 7 - Um solenoide infinito, de raio A, é percorrido por uma corrente alternada, de forma que o campo magnético em seu interior é dado
. Uma espira circular, de raio
e resistência R, é colocada dentro do solenoide de forma que o eixo do solenoide fica perpendicular ao plano do espira. Obtenha a corrente induzida na espira.
Passo 1
O enunciado pede que eu obtenha a corrente induzida na espira circular colocada dentro do solenoide. Informações fornecidas pelo enunciado:
- Raio do solenoide:
. - Campo magnético no interior do solenoide:
. - Há uma espira circular de raio
e resistência colocada dentro do solenoide, com o eixo do solenoide perpendicular ao plano da espira (logo o campo atravessa a espira normalmente). - Quero a corrente induzida na espira como função do tempo (e também a indicação do sentido dessa corrente).
Passo 2
Entender o fluxo magnético e como calculá-lo. O fluxo magnético
através de uma superfície é definido como a soma (integral) do produto escalar entre o campo magnético e um elemento de área:
Explicando:
é o vetor área, cujo módulo é um pedaço infinitesimal de área e cuja direção é a normal à superfície (aqui escolhemos a normal apontando para
). Se
for uniforme sobre a área da espira e estiver alinhado com a normal, o integral vira produto simples:
A área
da espira de raio
é
Como
e está perpendicular ao plano da espira, o fluxo é
Passo 3
Aplicar a Lei de Faraday para achar a fem induzida. A Lei de Faraday diz que a força eletromotriz (fem) induzida na espira é menos a taxa de variação do fluxo magnético:
Vou derivar
. Como
, derivando em relação ao tempo:
Lembrando que a derivada de
é
, obtemos
Agora a fem é
Pequena interpretação didática: o sinal negativo da Lei de Faraday indica que a fem aparece no sentido que tende a se opor à variação do fluxo (isso é o princípio de Lenz). O resultado acima dá a magnitude e o sinal da fem para a convenção de normal que escolhemos.
Passo 4
Relacionar a fem com a corrente via Lei de Ohm (para a espira resistiva): a corrente induzida
satisfaz
assumindo que a espira não tem indutância significativa própria ou que queremos a corrente instantânea dada pela resistência. Assim,
Portanto
Passo 5
Explicar o sentido da corrente usando Lenz e a convenção de normal. Adotei a normal da espira apontando para
. Pelo regra da mão direita, uma corrente que circule no sentido anti-horário (visto de cima, isto é, vista no sentido de
) produz um campo magnético resultante apontando para
. Logo:
- Quando
a expressão acima dá : a corrente é no sentido anti-horário vista de . - Quando
a corrente muda de sinal e circula no sentido horário vista de .
Físicamente isso corresponde ao fato de que a corrente induzida cria um campo que se opõe à variação do campooriginal, conforme a Lei de Lenz.
Passo 6
Casos particulares (para intuir o comportamento):
- Em
: e -> . O campo é máximo, mas no instante inicial não há variação instantânea do fluxo. - Em
: 0 e -> corrente máxima .
Resposta
Sentido: para a normal apontando em
, a corrente é anti-horária vista de
quando
e horária quando
.