Questão para estudantes com matrícula par:
Duas fendas distantes 0,250 mm uma da outra, colocadas a uma diståncia de 0,900 m de uma tela, são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 600 nm . A intensidade no centro do máximo central ( theta=0^circ ) é igual a I0. Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central (a) e o primeiro mínimo; (b) e o ponto no qual a intensidade se reduz para lo/2?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre interferência de fendas duplas, que é quando a luz passa por duas fendas próximas e cria padrões de luz e sombra numa tela. A gente vai precisar usar conceitos de física ondulatória, especificamente sobre como calcular a posição dos mínimos de intensidade e onde a intensidade cai para metade do valor máximo. Vamos usar fórmulas que envolvem o comprimento de onda da luz, a distância entre as fendas, e a distância até a tela.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os dados que a gente tem:
  • Distância entre as fendas, $ d = 0,250 , mm = 0,250 \times 10^{-3} , m $
  • Distância até a tela, $ D = 0,900 , m $
  • Comprimento de onda da luz, $ \lambda = 600 , nm = 600 \times 10^{-9} , m $
  • Intensidade no centro do máximo, $ I_0 $

Passo 3

Vamos resolver a parte (a): encontrar a distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo na tela.
Para encontrar os mínimos de intensidade, usamos a condição de que a diferença de caminho entre as duas fendas é igual a $ \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $, onde $ m $ é um número inteiro (neste caso, $ m = 0 $ para o primeiro mínimo).
A fórmula para a posição $ y $ do mínimo na tela é:
(m + 12)lambda
Como queremos o primeiro mínimo, $ m = 0 $:
m

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
y = 0,5 times 600 times 10^-9 , m times 0,900 , m0,250 times 10^-3 , m
y = 0,5 times 600 times 0,9000,250 times 10^-9 times m times m10^-3 , m
y = 2700,250 times 10^-6 , m
y = 1080 times 10^-6 , m = 1,08 times 10^-3 , m = 1,08 , mm

Passo 5

Agora, vamos resolver a parte (b): encontrar a distância na tela onde a intensidade se reduz para $ \frac{I_0}{2} $.
A intensidade de interferência é dada por:
I02
Queremos que $ I = \frac{I_0}{2} $:
I = I0 cos^2(pi d sin thetalambda)
Dividindo ambos os lados por $ I_0 $:
I = I02
Tirando a raiz quadrada (considerando apenas a solução para $ \cos $):
I02 = I0 cos^2(pi d sin thetalambda)
Isso acontece quando:
I0
Simplificando:
12 = cos^2(pi d sin thetalambda)
Como o ângulo é pequeno, podemos aproximar $ \sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D} $:
cos
1raiz2 = cos(pi d sin thetalambda)

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
y = 600 times 10^-9 , m times 0,900 , m4 times 0,250 times 10^-3 , m
y = 540 times 10^-9 , m^21,0 times 10^-3 , m
y = 540 times 10^-6 , m = 0,540 , mm

Resposta

(a) A distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo é de 1,08 mm.
(b) A distância até o ponto onde a intensidade se reduz para $ \frac{I_0}{2} $ é de 0,540 mm.

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