Questão para estudantes com matrícula par:
Duas fendas distantes
uma da outra, colocadas a uma diståncia de
de uma tela, são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 600 nm . A intensidade no centro do máximo central (
) é igual a
. Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central (a) e o primeiro mínimo; (b) e o ponto no qual a intensidade se reduz para lo/2?
Duas fendas distantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre interferência de fendas duplas, que é quando a luz passa por duas fendas próximas e cria padrões de luz e sombra numa tela. A gente vai precisar usar conceitos de física ondulatória, especificamente sobre como calcular a posição dos mínimos de intensidade e onde a intensidade cai para metade do valor máximo. Vamos usar fórmulas que envolvem o comprimento de onda da luz, a distância entre as fendas, e a distância até a tela.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os dados que a gente tem:
- Distância entre as fendas, $ d = 0,250 , mm = 0,250 \times 10^{-3} , m $
- Distância até a tela, $ D = 0,900 , m $
- Comprimento de onda da luz, $ \lambda = 600 , nm = 600 \times 10^{-9} , m $
- Intensidade no centro do máximo, $ I_0 $
Passo 3
Vamos resolver a parte (a): encontrar a distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo na tela.
Para encontrar os mínimos de intensidade, usamos a condição de que a diferença de caminho entre as duas fendas é igual a $ \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $, onde $ m $ é um número inteiro (neste caso, $ m = 0 $ para o primeiro mínimo).
A fórmula para a posição $ y $ do mínimo na tela é:
Como queremos o primeiro mínimo, $ m = 0 $:
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos resolver a parte (b): encontrar a distância na tela onde a intensidade se reduz para $ \frac{I_0}{2} $.
A intensidade de interferência é dada por:
Queremos que $ I = \frac{I_0}{2} $:
Dividindo ambos os lados por $ I_0 $:
Tirando a raiz quadrada (considerando apenas a solução para $ \cos $):
Isso acontece quando:
Simplificando:
Como o ângulo é pequeno, podemos aproximar $ \sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D} $:
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Resposta
(a) A distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo é de 1,08 mm.
(b) A distância até o ponto onde a intensidade se reduz para $ \frac{I_0}{2} $ é de 0,540 mm.