Questāo 3 (2.0) Estude a convergencia da série
onde
Passo 1
O enunciado dá a série
com
O que se pede: estudar a convergência dessa série — ou seja, decidir se a série converge ou diverge (e em que condições sobre
, se for o caso). Informações relevantes:
é uma constante positiva (porque
), e
é o fatorial de
que cresce com
.
Passo 2
Primeiro lembrete importante (ferramenta básica): se uma série
converge então os termos
necessariamente tendem a zero:
Portanto, uma forma rápida de provar divergência é mostrar que
.
Vamos estudar
. Como
é constante positiva, o comportamento de
depende de
. Vou mostrar que
cresce sem limite quando
, portanto
e, em particular, não tende a zero.
Passo 3
Construção de uma desigualdade simples (muito usada para comparar fatoriais com potências): para
tome os últimos
fatores do produto
. Cada um desses últimos fatores é pelo menos
. Logo, tomando aproximadamente a metade final do produto, obtemos a desigualdade
Explicando rápido: se
, então os termos
são
termos cada um
, então o produto desses
termos é
; e
, então para grandes
essa estimativa já mostra crescimento rapidíssimo.
Usando essa desigualdade, para
temos
Agora observe o comportamento assintótico do lado direito: o fator
domina tudo — ele cresce extremamente rápido porque o expoente
também cresce com
. Para ver que isso vai para infinito, tome logaritmos (apenas para entender):
Para grandes
o termo principal é
(pois
cresce sem limite), e esse domina
; portanto o logaritmo tende a
, o que implica que a quantidade original tende a
. Conclusão:
Em particular
.
Passo 4
Pelo critério necessário para convergência de séries (se a série converge então
), como acabamos de mostrar que
não tende a zero (na verdade tende a
), a série
não pode convergir. Logo a série diverge.
(Na linguagem de testes de séries: poderia também usar o teste da razão — calculando
cujo limite quando
é
, mostrando imediatamente divergência pelo teste da razão — mas a demonstração por termos é mais direta.)
Resposta
A série diverge para todo
.