Questāo 3 (2.0) Estude a convergencia da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} onde
a_{n}=\frac{k^{\pi} n!}{n^{\pi}}, k>0

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n com
a_n=\frac{k^{\pi}\, n!}{n^{\pi}},\quad k>0.
O que se pede: estudar a convergência dessa série — ou seja, decidir se a série converge ou diverge (e em que condições sobre k, se for o caso). Informações relevantes: k^{\pi} é uma constante positiva (porque k>0), e n! é o fatorial de n que cresce com n.

Passo 2

Primeiro lembrete importante (ferramenta básica): se uma série \sum a_n converge então os termos a_n necessariamente tendem a zero:
\text{se }\sum a_n \text{ converge então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Portanto, uma forma rápida de provar divergência é mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0.
Vamos estudar \lim_{n\to\infty} a_n. Como k^{\pi} é constante positiva, o comportamento de a_n depende de \dfrac{n!}{n^{\pi}}. Vou mostrar que \dfrac{n!}{n^{\pi}} cresce sem limite quando n\to\infty, portanto a_n\to\infty e, em particular, não tende a zero.

Passo 3

Construção de uma desigualdade simples (muito usada para comparar fatoriais com potências): para n\ge 2 tome os últimos \lfloor n/2\rfloor fatores do produto n!=1\cdot2\cdots n. Cada um desses últimos fatores é pelo menos n/2. Logo, tomando aproximadamente a metade final do produto, obtemos a desigualdade
n! \ge \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\quad\text{para }n\ge 2.
Explicando rápido: se m=\lfloor n/2\rfloor, então os termos (m+1),(m+2),\dots,n são m termos cada um \ge n/2, então o produto desses m termos é \ge (n/2)^m; e m\ge n/2 -1, então para grandes n essa estimativa já mostra crescimento rapidíssimo.
Usando essa desigualdade, para n\ge 2 temos
a_n = k^{\pi}\,\frac{n!}{n^{\pi}} \ge k^{\pi}\,\frac{\left(\dfrac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}{n^{\pi}} = k^{\pi}\,2^{-\frac{n}{2}}\,n^{\frac{n}{2}-\pi}.
Agora observe o comportamento assintótico do lado direito: o fator n^{\frac{n}{2}-\pi} domina tudo — ele cresce extremamente rápido porque o expoente \frac{n}{2}-\pi também cresce com n. Para ver que isso vai para infinito, tome logaritmos (apenas para entender):
\log\bigl(k^{\pi}\,2^{-\frac{n}{2}}\,n^{\frac{n}{2}-\pi}\bigr) = \text{constante} -\frac{n}{2}\log 2 +\Big(\frac{n}{2}-\pi\Big)\log n.
Para grandes n o termo principal é \frac{n}{2}\log n (pois \log n cresce sem limite), e esse domina \frac{n}{2}\log 2; portanto o logaritmo tende a +\infty, o que implica que a quantidade original tende a +\infty. Conclusão:
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.
Em particular \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0.

Passo 4

Pelo critério necessário para convergência de séries (se a série converge então a_n\to 0), como acabamos de mostrar que a_n não tende a zero (na verdade tende a +\infty), a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir. Logo a série diverge.
(Na linguagem de testes de séries: poderia também usar o teste da razão — calculando
\frac{a_{n+1}}{a_n}=(n+1)\Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{\!\pi},
cujo limite quando n\to\infty é +\infty, mostrando imediatamente divergência pelo teste da razão — mas a demonstração por termos é mais direta.)

Resposta

A série diverge para todo k>0.

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