Expressar y=\operatorname{tg}(\arcsin (x)) para 0<x<1, como uma expressão algébrica de x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever y=\operatorname{tg}(\arcsin(x)) para 0<x<1 como uma expressão algébrica em termos de x.
Informações dadas: y=\operatorname{tg}(\arcsin(x)) e 0<x<1. Não há outras incógnitas.

Passo 2

Introduzimos uma variável intermediária para entender a composição de funções. Seja \theta=\arcsin(x). Por definição de \arcsin, isso significa que \sin(\theta)=x. Também sabemos que o valor principal de \arcsin satisfaz \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Como 0<x<1, então necessariamente \theta\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) (ângulo no primeiro quadrante).

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental que vem do teorema de Pitágoras no círculo trigonométrico:
\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1.
Substituindo \sin(\theta)=x obtemos
\cos^2(\theta)=1-x^2.
Logo
\cos(\theta)=\pm\sqrt{1-x^2}.

Passo 4

Decidimos o sinal de \cos(\theta). Como \theta\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) (primeiro quadrante), o cosseno é positivo. Portanto
\cos(\theta)=\sqrt{1-x^2}.

Passo 5

Recordando que \operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}, temos
\operatorname{tg}(\arcsin(x))=\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.
Substituindo \sin(\theta)=x e \cos(\theta)=\sqrt{1-x^2} resulta
\operatorname{tg}(\arcsin(x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 6

Uma verificação rápida com um exemplo numérico ajuda a confiar no resultado. Tome x=\tfrac{1}{2}. Então \arcsin\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{6} e \operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Pela fórmula:
\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1/2}{\sqrt{1-(1/4)}}=\frac{1/2}{\sqrt{3/4}}=\frac{1}{\sqrt{3}},
concordando com o valor conhecido.

Resposta

\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}

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