Questāo 2 (2.0) Estude a convergéncia da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n|n+1|}

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n|n+1|}.
Informações dadas e coisas claras desde já:
\text{índice: } n=1,2,3,\dotsí
\text{termo geral: } a_n=\frac{1}{n|n+1|}.
Não há outras hipóteses escondidas: a soma começa em n=1 e vai até o infinito. O objetivo é determinar se a série converge ou diverge, e — se possível — encontrar o valor da soma.

Passo 2

Observação simples sobre o valor absoluto. Para todo inteiro n\ge 1 temos n+1>0, então
|n+1|=n+1.
Portanto, podemos reescrever o termo geral sem o valor absoluto:
a_n=\frac{1}{n(n+1)}.
Isso já simplifica bastante a aparência da série.

Passo 3

Vamos manipular o termo \dfrac{1}{n(n+1)}. Uma técnica muito útil é a decomposição em frações simples (ou frações parciais). A ideia é escrever
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1},
onde A e B são constantes que vamos determinar. Isso é útil porque somas de termos do tipo 1/n aparecem frequentemente e podem cancelar entre si em somas telescópicas.

Passo 4

Achar A\) e \(B\): multiplico ambos os lados por \(n(n+1)\) e obtenho \[1 = A(n+1) + Bn = (A+B)n + A.
Igualando coeficientes (identidade polinomial em n) obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] A=1. \end{cases}
Da segunda equação A=1\]. Então \(B=-A=-1. Logo
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Expliquei passo a passo como obter A e B para você poder repetir isso na prova.]

Passo 5

Agora usemos essa forma para escrever a soma parcial da série. A série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Séries com termos nessa forma costumam ser telescópicas: muitos termos se cancelam quando somamos as primeiras parcelas. Vou mostrar isso explicitamente.

Passo 6

Calcule a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right). Escrevendo os primeiros termos:
S_N=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right).
Agora observe o cancelamento termo a termo: \frac{1}{2} cancela, \frac{1}{3} cancela, etc. Sobram apenas o primeiro pedaço da primeira parcela e o último pedaço negativo da última parcela. Assim
S_N = 1 - \frac{1}{N+1}.
Mostrei a soma parcial de forma algébrica para que você possa reproduzir sem erro na prova.

Passo 7

Passamos ao limite quando N\to\infty. Temos uma sequência de somas parciais S_N=1-\dfrac{1}{N+1}. Como \dfrac{1}{N+1}\to 0 quando N\to\infty, segue que
\lim_{N\to\infty} S_N = 1 - 0 = 1.
Portanto a série converge (porque as somas parciais têm limite finito) e, além disso, a soma da série é 1. Como os termos são positivos, a convergência é automática para a soma encontrada (e também se chama convergência absoluta nesse caso, pois |a_n|=a_n).

Passo 8

Resumo didático e dica de prova: quando ver uma expressão como \dfrac{1}{n(n+k)} com k fixo, tente decomposição em frações simples do tipo \dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+k}; muitas vezes resulta em uma soma telescópica. Exemplo rápido: para \dfrac{1}{n(n+2)} a decomposição é \dfrac{1/2}{n}-\dfrac{1/2}{n+2}, o que também gera cancelamentos parciais ao somar. Essa é uma técnica que salva tempo e esforço em provas.

Resposta

A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n|n+1|}=1.

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