Questāo 2 (2.0) Estude a convergéncia da série
Passo 1
O enunciado pede que a gente estude a convergência da série
Informações dadas e coisas claras desde já:
Não há outras hipóteses escondidas: a soma começa em
e vai até o infinito. O objetivo é determinar se a série converge ou diverge, e — se possível — encontrar o valor da soma.
Passo 2
Observação simples sobre o valor absoluto. Para todo inteiro
temos
, então
Portanto, podemos reescrever o termo geral sem o valor absoluto:
Isso já simplifica bastante a aparência da série.
Passo 3
Vamos manipular o termo
. Uma técnica muito útil é a decomposição em frações simples (ou frações parciais). A ideia é escrever
onde
e
são constantes que vamos determinar. Isso é útil porque somas de termos do tipo
aparecem frequentemente e podem cancelar entre si em somas telescópicas.
Passo 4
Achar
Igualando coeficientes (identidade polinomial em
) obtemos o sistema
Da segunda equação
. Logo
Expliquei passo a passo como obter
e
para você poder repetir isso na prova.]
Passo 5
Agora usemos essa forma para escrever a soma parcial da série. A série fica
Séries com termos nessa forma costumam ser telescópicas: muitos termos se cancelam quando somamos as primeiras parcelas. Vou mostrar isso explicitamente.
Passo 6
Calcule a soma parcial
. Escrevendo os primeiros termos:
Agora observe o cancelamento termo a termo:
cancela,
cancela, etc. Sobram apenas o primeiro pedaço da primeira parcela e o último pedaço negativo da última parcela. Assim
Mostrei a soma parcial de forma algébrica para que você possa reproduzir sem erro na prova.
Passo 7
Passamos ao limite quando
. Temos uma sequência de somas parciais
. Como
quando
, segue que
Portanto a série converge (porque as somas parciais têm limite finito) e, além disso, a soma da série é
. Como os termos são positivos, a convergência é automática para a soma encontrada (e também se chama convergência absoluta nesse caso, pois
).
Passo 8
Resumo didático e dica de prova: quando ver uma expressão como
com
fixo, tente decomposição em frações simples do tipo
; muitas vezes resulta em uma soma telescópica. Exemplo rápido: para
a decomposição é
, o que também gera cancelamentos parciais ao somar. Essa é uma técnica que salva tempo e esforço em provas.
Resposta
A série converge e
.