Questão 4 - Exercício Numérico

Um tubo de 0,05 \mathrm{~m} de diâmetro transporta água a 60^{\circ} \mathrm{C} e está exposto a ar em movimento a 20^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade do ar é de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o coeficiente convectivo é \mathrm{h}=30 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}.
Calcule:
a) A taxa de transferência de calor por metro de tubo. b) O tempo necessário para que um segmento de tubo de 2 m perca 5000 J de calor para o ar.

Passo 1

O enunciado dá um tubo de diâmetro \,D=0{,}05\\ \mathrm{m}\, com a superfície do tubo a \,60^\circ\mathrm{C}\, e o ar a \,20^\circ\mathrm{C}\,. A velocidade do ar é \,4\\ \mathrm{m/s}\, e o coeficiente convectivo é \,h=30\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}\,.
Perguntas:
a) Calcular a taxa de transferência de calor por metro de tubo (ou seja, potência por unidade de comprimento).
b) Calcular o tempo necessário para que um segmento de tubo de 2\\ \mathrm{m} perca 5000\\ \mathrm{J} para o ar.
Dados importantes extraídos do enunciado (listados para não esquecer nada):
\,D=0{,}05\\ \mathrm{m}\,
\,T_{\text{tubo}}=60^\circ\mathrm{C}\,
\,T_{\text{ar}}=20^\circ\mathrm{C}\,
\,h=30\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}\,
Comprimento para a parte (b): \,L=2\\ \mathrm{m}\,
Energia a perder para (b): \,Q=5000\\ \mathrm{J}\,

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar. A transferência de calor por convecção numa superfície é dada pela lei de resfriamento de Newton:
\dot{Q} = h\,A\,\Delta T
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência) em \mathrm{W} (ou \mathrm{J/s});
  • \,h é o coeficiente convectivo em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K};
  • \,A é a área através da qual ocorre a convecção em \mathrm{m}^2;
  • \,\Delta T é a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido em \mathrm{K} (ou ^\circ\mathrm{C}, mesma escala para diferença).
No nosso caso queremos a taxa de calor por metro de tubo: então usaremos a área de superfície lateral por metro de comprimento.

Passo 3

Cálculo da diferença de temperatura \Delta T.
\Delta T = T_{\text{tubo}} - T_{\text{ar}} = 60^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 40\\ \mathrm{K}

Passo 4

Área lateral por metro de comprimento do cilindro (superfície por unidade de comprimento). Para um cilindro de diâmetro \,D e comprimento \,1\\ \mathrm{m},
A_{\text{por m}} = \pi D.
Substituindo \,D=0{,}05\\ \mathrm{m}\,:
A_{\text{por m}} = \pi \cdot 0{,}05\\ \mathrm{m} \approx \pi\cdot 0{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calculando numericamente A_{\text{por m}}.
A_{\text{por m}} = \pi \cdot 0{,}05 \approx 0{,}1570796327\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.
Vou arredondar razoavelmente para manter contas de prova sem calculadora: A_{\text{por m}}\approx 0{,}15708\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da convecção para obter a taxa de calor por metro:
\dot{Q}' = h \, A_{\text{por m}} \, \Delta T.
Primeiro faço h\Delta T:
h\Delta T = 30\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K} \times 40\\ \mathrm{K} = 1200\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Agora multiplico por A_{\text{por m}}:
\dot{Q}' = 1200\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \times 0{,}1570796327\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m} \approx 188{,}495559\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para a prova:
\dot{Q}' \approx 188{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida e comentário: a velocidade do ar ( 4\\ \mathrm{m/s}) foi dada no enunciado, mas como o valor de h já é fornecido, não precisamos calcular h a partir da velocidade. Usamos diretamente h=30\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.

Passo 8

Parte (b): tempo necessário para que um segmento de comprimento \,L=2\\ \mathrm{m}\, perca Q=5000\\ \mathrm{J}.
Taxa total de perda de calor do segmento:
\dot{Q}_{\text{total}} = \dot{Q}' \times L.
Substituindo \dot{Q}'\approx 188{,}495559\\ \mathrm{W}/\mathrm{m} e L=2\\ \mathrm{m}:
\dot{Q}_{\text{total}} \approx 188{,}495559\\ \mathrm{W}/\mathrm{m} \times 2\\ \mathrm{m} \approx 376{,}991118\\ \mathrm{W}.
Agora o tempo \,t é a energia dividida pela potência:
t = \dfrac{Q}{\dot{Q}_{\text{total}}} = \dfrac{5000\\ \mathrm{J}}{376{,}991118\\ \mathrm{J/s}} \approx 13{,}263\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma prática:
t \approx 13{,}26\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Observações finais rápidas (úteis para a prova): estamos assumindo que a temperatura do tubo permanece constante em 60^\circ\mathrm{C} enquanto ele perde 5000\\ \mathrm{J} (ou seja, regime pseudo-estacionário) e que h é constante. Se a temperatura do tubo caísse significativamente, a taxa de perda mudaria e a integração no tempo seria necessária. Para este exercício simples, usar \dot{Q}=hA\Delta T constante é o procedimento correto.

Resposta

a) \,188{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}
b) \,13{,}26\\ \mathrm{s}

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