QUESTÃO 3: Se existir solução, resolva o Sistema pelo método da Matriz Inversa (3 pontos)
S 3=\left\{\begin{array}{c} (D+1) x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6+C \\\\ 2 x_{1}-(D+1) x_{2}+2 x_{3}=-5+C \\\ x_{1}+3 x_{2}-(D+1) x_{3}=9+C \end{array}\right.
Obs: Quando ocorrer, mantenha os números em forma de frações…

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Sistema com incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\, e parâmetros \,D e \,C:
S3=\left\{\begin{array}{r} (D+1) x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6+C,\\[4pt] 2 x_{1}-(D+1) x_{2}+2 x_{3}=-5+C,\\[4pt] x_{1}+3 x_{2}-(D+1) x_{3}=9+C. \end{array}\right.
  • O enunciado pede: “Se existir solução, resolva o sistema pelo método da matriz inversa.” Ou seja, escrever o sistema na forma A\mathbf{x}=\mathbf{b}, achar A^{-1} (quando existir) e calcular \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
  • Informações relevantes: os parâmetros D e C são dados arbitrários; pode haver casos em que A não é invertível (determinante zero), e nesses casos devemos verificar existência/infinitas soluções ou ausência de solução.
  • Observação do enunciado: manter números em forma de frações quando ocorrerem.]

Passo 2

Primeiro escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Para simplificar simbolicamente, defino
a:=D+1.
Então
A=\begin{pmatrix} a & 4 & 1\\[4pt] 2 & -a & 2\\[4pt] 1 & 3 & -a \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}6+C\\[2pt]-5+C\\[2pt]9+C\end{pmatrix}.
O plano é: calcular \det(A); se \det(A)\neq0 então A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) e \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Se \det(A)=0 investigar consistência do sistema.]

Passo 3

Calcular o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
\det(A)=a\det\begin{pmatrix}-a&2\\[2pt]3&-a\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}2&2\\[2pt]1&-a\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}2&-a\\[2pt]1&3\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}-a&2\\[2pt]3&-a\end{pmatrix}=(-a)(-a)-2\cdot3=a^{2}-6,
\det\begin{pmatrix}2&2\\[2pt]1&-a\end{pmatrix}=2(-a)-2\cdot1=-2a-2,
\det\begin{pmatrix}2&-a\\[2pt]1&3\end{pmatrix}=2\cdot3-(-a)\cdot1=6+a.
Substituindo:
\det(A)=a(a^{2}-6)-4(-2a-2)+(a+6).
Simplificando:
\det(A)=a^{3}-6a+8a+8+a+6=a^{3}+3a+14.
Voltando a D com a=D+1:
\det(A)=(D+1)^{3}+3(D+1)+14=D^{3}+3D^{2}+6D+18.
Fatorizando:
\det(A)=(D+3)(D^{2}+6).
Observação importante: para D\in\mathbb{R} o fator D^{2}+6>0, portanto a única raiz real do determinante é D=-3. Logo:
  • Se D\neq -3, então \det(A)\neq0 e A é invertível (solução única).
  • Se D=-3, então \det(A)=0 e devemos analisar consistência.]

Passo 4

Calcular a inversa por adjugada (caso \det(A)\neq0). Primeiro obtemos a matriz dos cofatores (cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente). Calculando menores e sinais chega-se à matriz de cofatores
\begin{pmatrix} a^{2}-6 & 2a+2 & a+6\\[4pt] 4a+3 & -(a^{2}+1) & -3a+4\\[4pt] a+8 & -2a+2 & -(a^{2}+8) \end{pmatrix}.
A adjunta (adjugada) é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} a^{2}-6 & 4a+3 & a+8\\[4pt] 2a+2 & -(a^{2}+1) & -2a+2\\[4pt] a+6 & -3a+4 & -(a^{2}+8) \end{pmatrix}.
Portanto, para \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).]

Passo 5

Agora calculo \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)\,\mathbf{b}. Faço as multiplicações linha a linha: escrevo \operatorname{adj}(A)\mathbf{b}=\begin{pmatrix}y_{1}\\[2pt]y_{2}\\[2pt]y_{3}\end{pmatrix} com
\begin{aligned} y_{1}&=(a^{2}-6)(6+C)+(4a+3)(-5+C)+(a+8)(9+C),\\[4pt] y_{2}&=(2a+2)(6+C)-(a^{2}+1)(-5+C)+(-2a+2)(9+C),\\[4pt] y_{3}&=(a+6)(6+C)+(-3a+4)(-5+C)-(a^{2}+8)(9+C). \end{aligned}
Agora simplifico cada y_{i} agrupando termos em C e termos independentes de C.
Calculei e simplifiquei (passos algébricos: expandir, agrupar coeficientes em C e termos livres). Os resultados são:
\begin{aligned} y_{1}&=C\bigl(a^{2}+5a+5\bigr)+(6a^{2}-11a+21),\\[4pt] y_{2}&=C\bigl(-a^{2}+3\bigr)+(5a^{2}-6a+35),\\[4pt] y_{3}&=C\bigl(-a^{2}-2a+2\bigr)+(-9a^{2}+21a-56). \end{aligned}
Portanto
\mathbf{x}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} C\bigl(a^{2}+5a+5\bigr)+(6a^{2}-11a+21)\\[6pt] C\bigl(-a^{2}+3\bigr)+(5a^{2}-6a+35)\\[6pt] C\bigl(-a^{2}-2a+2\bigr)+(-9a^{2}+21a-56) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Volto a D (substituo a=D+1) e simplifico os numeradores para apresentar as respostas em funções de D e C. Usando a=D+1 e desenvolvendo, obtive os numeradores finais:
  • Numerador de x_{1}:
(C+6)D^{2}+(7C+1)D+(11C+16).
  • Numerador de x_{2}:
(5-C)D^{2}+(4-2C)D+(2C+34).
  • Numerador de x_{3}:
-(C+9)D^{2}+(3-4C)D-(C+44).
E o denominador comum é \det(A)=D^{3}+3D^{2}+6D+18=(D+3)(D^{2}+6).
Portanto, para D\neq -3 (inversível), a solução única é
x_{1}=\dfrac{(C+6)D^{2}+(7C+1)D+(11C+16)}{D^{3}+3D^{2}+6D+18},
x_{2}=\dfrac{(5-C)D^{2}+(4-2C)D+(2C+34)}{D^{3}+3D^{2}+6D+18},
x_{3}=\dfrac{-(C+9)D^{2}+(3-4C)D-(C+44)}{D^{3}+3D^{2}+6D+18}.

Passo 7

Agora trato o caso singular D=-3 (onde \det(A)=0). Substituo D=-3 em a=D+1 para ter a=-2 e analiso a consistência do sistema. Para a=-2 o sistema fica
\left\{\begin{array}{r} -2x_{1}+4x_{2}+x_{3}=6+C,\\[4pt] 2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-5+C,\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=9+C. \end{array}\right.
Fazendo eliminação linear (detalhes: combinar equações (2) e (3) e substituir em (1)) chega-se à condição de compatibilidade
C=67.
  • Se D=-3 e C\neq67, o sistema é incompatível (sem solução).
  • Se D=-3 e C=67, há infinitas soluções (familia de soluções com um parâmetro). Desenvolvendo as relações obtidas pela eliminação, escolhemos x_{2}=t como parâmetro e obtemos:
x_{1}=t-14,\qquad x_{2}=t,\qquad x_{3}=45-2t,\quad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

Para D\neq -3 (solução única):
x_{1}=\dfrac{(C+6)D^{2}+(7C+1)D+(11C+16)}{D^{3}+3D^{2}+6D+18},
x_{2}=\dfrac{(5-C)D^{2}+(4-2C)D+(2C+34)}{D^{3}+3D^{2}+6D+18},
x_{3}=\dfrac{-(C+9)D^{2}+(3-4C)D-(C+44)}{D^{3}+3D^{2}+6D+18}.
Para D=-3:
  • Se C\neq67: não existe solução (sistema incompatível).
  • Se C=67: infinitas soluções, descritas por
x_{1}=t-14,\qquad x_{2}=t,\qquad x_{3}=45-2t,\qquad t\in\mathbb{R}.

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