O enunciado pede: “Se existir solução, resolva o sistema pelo método da matriz inversa.” Ou seja, escrever o sistema na forma A\mathbf{x}=\mathbf{b}, achar A^{-1} (quando existir) e calcular \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Informações relevantes: os parâmetros D e C são dados arbitrários; pode haver casos em que A não é invertível (determinante zero), e nesses casos devemos verificar existência/infinitas soluções ou ausência de solução.
Observação do enunciado: manter números em forma de frações quando ocorrerem.]
Passo 2
Primeiro escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Para simplificar simbolicamente, defino
a:=D+1.
Então
A=\begin{pmatrix} a & 4 & 1\\[4pt] 2 & -a & 2\\[4pt] 1 & 3 & -a \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}6+C\\[2pt]-5+C\\[2pt]9+C\end{pmatrix}.
O plano é: calcular \det(A); se \det(A)\neq0 então A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) e \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Se \det(A)=0 investigar consistência do sistema.]
Passo 3
Calcular o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
Observação importante: para D\in\mathbb{R} o fator D^{2}+6>0, portanto a única raiz real do determinante é D=-3. Logo:
Se D\neq -3, então \det(A)\neq0 e A é invertível (solução única).
Se D=-3, então \det(A)=0 e devemos analisar consistência.]
Passo 4
Calcular a inversa por adjugada (caso \det(A)\neq0). Primeiro obtemos a matriz dos cofatores (cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente). Calculando menores e sinais chega-se à matriz de cofatores
Agora calculo \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)\,\mathbf{b}. Faço as multiplicações linha a linha: escrevo \operatorname{adj}(A)\mathbf{b}=\begin{pmatrix}y_{1}\\[2pt]y_{2}\\[2pt]y_{3}\end{pmatrix} com
Volto a D (substituo a=D+1) e simplifico os numeradores para apresentar as respostas em funções de D e C. Usando a=D+1 e desenvolvendo, obtive os numeradores finais:
Numerador de x_{1}:
(C+6)D^{2}+(7C+1)D+(11C+16).
Numerador de x_{2}:
(5-C)D^{2}+(4-2C)D+(2C+34).
Numerador de x_{3}:
-(C+9)D^{2}+(3-4C)D-(C+44).
E o denominador comum é \det(A)=D^{3}+3D^{2}+6D+18=(D+3)(D^{2}+6).
Portanto, para D\neq -3 (inversível), a solução única é
Fazendo eliminação linear (detalhes: combinar equações (2) e (3) e substituir em (1)) chega-se à condição de compatibilidade
C=67.
Se D=-3 e C\neq67, o sistema é incompatível (sem solução).
Se D=-3 e C=67, há infinitas soluções (familia de soluções com um parâmetro). Desenvolvendo as relações obtidas pela eliminação, escolhemos x_{2}=t como parâmetro e obtemos: