Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
Sistema S2\):
\[\begin{cases} (D+1)x_{1}+2x_{2}+0x_{3}+x_{4}=7-C,\\[4pt] x_{1}+(D+1)x_{2}+x_{3}-x_{4}=3-C,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}+(D+1)x_{3}-7x_{4}=1-C. \end{cases}
Variáveis desconhecidas: x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\].
- Parâmetros: \(D e C (valores quaisquer; temos que estudar dependência das soluções em D e C).
O enunciado pede: resolver o sistema (se existir solução), pelo método de Gauss (forma escada) e usar o Teorema do Posto (ou seja, verificar consistência/rango e fornecer a solução paramétrica quando houver).
Observações importantes para a resolução que vem a seguir:
Vou montar a matriz aumentada e reduzir em forma escalonada (Gauss).
Como o sistema tem 3 equações e 4 incógnitas, não pode haver solução única; ou inexistência, ou família infinita (graus de liberdade ≥ 1).
Para decidir consistência vou usar o Teorema do Posto (comparo posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada).
Em certos passos surgirão determinantes de submatrizes 3\times3; estes determinantes servem para verificar independência de colunas (e portanto o posto).]
Passo 2
Montar a matriz aumentada e começar eliminação elementar (troca de linhas, somas múltiplas).
Matriz aumentada [A\mid b] (peguei os coeficientes do enunciado):
Calculo o determinante de M (isso me diz se as três primeiras colunas são linearmente independentes):
Denotando a=D+1, usa-se expansão: \det M = a(a^2-1) - 2(a-3).
Fazendo as contas chega-se a
\det M = D^3 + 3D^2 + 4.
Denomino este valor por \Delta:
\Delta := D^3 + 3D^2 + 4.
Interpretação (Teorema do Posto):
Se \Delta \neq 0, então as colunas 1,2,3 são independentes, logo a matriz de coeficientes tem posto 3. Como a matriz aumentada tem no máximo posto 3 (há somente 3 linhas), o sistema é consistente para qualquer C. Como há 4 incógnitas, teremos família de soluções com 1 parâmetro (grau de liberdade 1).
Se \Delta = 0, pode ocorrer dependência entre as colunas 1,2,3. Então é preciso verificar outros menores 3\times3 (por exemplo usando a coluna x_4) para decidir o posto. Vou calcular um desses outros menores para concluir o posto em todos os casos.]
Passo 4
Calcular outro menor 3\times3 que inclua a coluna do x_4. Escolho as colunas 1,2,4:
Conclusão sobre o posto (fundamental para consistência):
Se \Delta \neq 0 então posto da matriz de coeficientes é 3.
Se \Delta = 0, então verifico \det N. Observe que as raízes de \det N são D=0 ou D=-16/7. Mas substituindo D=0 ou D=-16/7 em \Delta dá valores diferentes de zero (verificação direta), portanto \Delta e \det N não têm raiz comum. Logo em qualquer D onde \Delta=0 teremos \det N\neq0. Assim, para todo D real, pelo menos um dos dois menores 3\times3 é não nulo. Portanto o posto da matriz de coeficientes é sempre 3 para qualquer D real.
Portanto (aplicando o Teorema do Posto):
Para todo D real o posto da matriz dos coeficientes é 3.
A matriz aumentada tem posto também 3 (pois não pode ser maior do que o número de linhas, que é 3).
Logo o sistema é sempre consistente (existe solução) para qualquer D e qualquer C.
Como são 4 incógnitas e posto =3, a solução é uma família infinita com 1 parâmetro livre.
Agora faço a resolução explícita (Gauss) e obtenho a solução paramétrica.]
Passo 5
Resolver explicitamente quando \Delta\neq0 (caso “genérico”): escolho x_4 como parâmetro livre t. Este é o caminho prático: definir x_{4}=t e resolver para x_1,x_2,x_3.
Para \Delta\neq0 as três primeiras colunas formam uma matriz invertível M, então por regra de Cramer (ou inversão) temos
(x_1,x_2,x_3)^{T} = M^{-1}\big( b - t\cdot v\big),
onde b=(7-C,\,3-C,\,1-C)^{T} e v=(1,-1,-7)^{T} (vê-se x_4 multiplicando essa coluna). Aplicando a regra de Cramer e calculando os determinantes (mostro os resultados das contas; cada determinante foi calculado com as operações padrão), obtemos as expressões lineares em t abaixo.
Defino novamente
\Delta = D^{3}+3D^{2}+4.
Então, para \Delta\neq0, com t parâmetro livre (x_4=t), as soluções são:
Essas expressões são obtidas por desenvolvimento dos determinantes de Cramer para cada coordenada e são válidas sempre que \Delta\neq0. (Observe que cada numerador é uma combinação linear em t cujos coeficientes dependem de D e C.)
Passo 6
Tratar o caso especial quando \Delta=0 (pouco comum, uma dada raiz real de D^{3}+3D^{2}+4=0).
Se \Delta=0, a submatriz M (colunas 1,2,3) é singular, então não podemos usar Cramer com essas três colunas. Contudo, já vimos que para esse D temos \det N\neq0 (isto é, as colunas 1,2,4 são independentes). Então escolho x_3 como parâmetro livre s e resolvo o sistema pelas colunas 1,2,4.
Procedimento (resumo):
Escrevo o sistema como N\cdot (x_1,x_2,x_4)^T = b - s\cdot c, onde c é a coluna 3 original, c=(0,1,D+1)^T, e s=x_3.
Como \det N = -D(7D+16)\neq0 nesse caso, aplico Cramer para obter x_1,x_2,x_4 em função de s (e de C,D).
Fazendo os cálculos (determinantes), para o caso \Delta=0 obtemos (aqui s é o parâmetro livre: x_3=s):
Observação importante: quando \Delta=0 o termo que multiplicava s em x_4 saiu proporcional a -\Delta, portanto o termo em s desaparece em x_4 (fica x_4 independente de s); já x_1,x_2 permanecem afins em s. Isto é só uma consequência algébrica específica desse caso singular.
Passo 7
Resumo das conclusões (o que o Teorema do Posto e a eliminação nos mostram, interpretando para a prova):
Para todo D\in\mathbb{R} e qualquer C\in\mathbb{R} o sistema é consistente (existe solução), porque o posto da matriz de coeficientes é sempre 3 e a matriz aumentada tem posto 3.
Sempre há uma família infinita de soluções com 1 parâmetro livre.
Procedimento prático na prova:
Calcule \Delta=D^{3}+3D^{2}+4.
Se \Delta\neq0, escolha x_4=t e use as fórmulas do Passo 5 (obtidas por Cramer / inversão de M).
Se \Delta=0, escolha x_3=s e use as fórmulas do Passo 6 (obtidas por Cramer na submatriz N que contém a coluna de x_4).