O ângulo entre a reta
e o plano
é:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a reta
com ponto e vetor diretor (peguei isso do enunciado). - Dá o plano
pela equação (peguei isso do enunciado). O vetor normal ao plano é . - Pede o ângulo entre a reta
e o plano .
Observação importante sobre o que se deve encontrar: o ângulo entre uma reta e um plano é o menor ângulo entre a reta e qualquer reta contida no plano que seja perpendicular à interseção entre a reta e o plano — na prática usamos uma relação simples entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano (explico no próximo passo).
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vou usar (explicadinho):
- Produto escalar (dot product): para dois vetores
e ,
Esse produto nos dá informação sobre o ângulo entre
e
pela fórmula
onde
é o ângulo entre os vetores e
é a norma (magnitude) do vetor.
- Norma (comprimento) de um vetor
:
- Relação entre ângulo linha-plano e produto com normal: se
é o ângulo entre a reta (vetor diretor ) e o plano com normal , então
Explicação rápida:
é o cosseno do ângulo entre
e
; como o ângulo entre a reta e o plano é o complemento desse ângulo, a relação fica em seno como acima. Portanto, para achar
basta calcular o membro direito e aplicar
.
Passo 3
Identificar os vetores e calcular o produto escalar (peguei os vetores do enunciado):
- Vetor diretor da reta:
. - Vetor normal do plano:
.
Calcular:
Tomamos o valor absoluto para a fórmula do seno:
Passo 4
Calcular as normas
e
:
Passo 5
Montar a razão do seno e simplificar:
Calcular numericamente
e a razão:
Passo 6
Calcular
em graus usando
:
Convertendo para graus (ou usando diretamente calculadora em graus):
(arreodondado com duas casas decimais:
).
Passo 7
Interpretação final: o ângulo entre a reta e o plano é bem pequeno, cerca de
.
Resposta
b.