O ângulo entre a reta r: X=(1,2,3)+\lambda(2,1,3), \lambda \in \mathbb{R} e o plano \pi: 2 x+4 y-3 z-7=0 é:
Escolha uma opção:
◯ a. 11,45^{\circ}
◯ b. 2,84^{\circ}
◯ c. 57,53^{\circ}
◯ d. 26,53^{\circ}
◯ e. 52,57^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a reta r com ponto (1,2,3) e vetor diretor \vec{v}=(2,1,3) (peguei isso do enunciado).
  • Dá o plano \pi pela equação 2x+4y-3z-7=0 (peguei isso do enunciado). O vetor normal ao plano é \vec{n}=(2,4,-3).
  • Pede o ângulo entre a reta r e o plano \pi.
Observação importante sobre o que se deve encontrar: o ângulo entre uma reta e um plano é o menor ângulo entre a reta e qualquer reta contida no plano que seja perpendicular à interseção entre a reta e o plano — na prática usamos uma relação simples entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano (explico no próximo passo).

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vou usar (explicadinho):
  • Produto escalar (dot product): para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Esse produto nos dá informação sobre o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} pela fórmula
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre os vetores e \|\vec{a}\| é a norma (magnitude) do vetor.
  • Norma (comprimento) de um vetor \vec{a}=(a_1,a_2,a_3):
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
  • Relação entre ângulo linha-plano e produto com normal: se \theta é o ângulo entre a reta (vetor diretor \vec{v}) e o plano com normal \vec{n}, então
\sin\theta=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{v}\|\,\|\vec{n}\|}.
Explicação rápida: |\vec{v}\cdot\vec{n}|/(\|\vec{v}\|\,\|\vec{n}\|) é o cosseno do ângulo entre \vec{v} e \vec{n}; como o ângulo entre a reta e o plano é o complemento desse ângulo, a relação fica em seno como acima. Portanto, para achar \theta basta calcular o membro direito e aplicar \arcsin.

Passo 3

Identificar os vetores e calcular o produto escalar (peguei os vetores do enunciado):
  • Vetor diretor da reta: \vec{v}=(2,1,3).
  • Vetor normal do plano: \vec{n}=(2,4,-3).
    Calcular \vec{v}\cdot\vec{n}:
\vec{v}\cdot\vec{n}=2\cdot2 + 1\cdot4 + 3\cdot(-3)=4+4-9=-1.
Tomamos o valor absoluto para a fórmula do seno:
|\vec{v}\cdot\vec{n}|=|-1|=1.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{v}\| e \|\vec{n}\|:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.
\|\vec{n}\|=\sqrt{2^2+4^2+(-3)^2}=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}.

Passo 5

Montar a razão do seno e simplificar:
\sin\theta=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{v}\|\,\|\vec{n}\|}=\frac{1}{\sqrt{14}\,\sqrt{29}}=\frac{1}{\sqrt{406}}.
Calcular numericamente \sqrt{406} e a razão:
\sqrt{406}\approx20{,}149441, \qquad \frac{1}{\sqrt{406}}\approx0{,}049627.

Passo 6

Calcular \theta em graus usando \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{406}}\right):
\theta=\arcsin(0{,}049627\ldots)\approx 0{,}04963\\ \text{rad}\times\frac{180}{\pi}.
Convertendo para graus (ou usando diretamente calculadora em graus):
\theta\approx 2{,}84^\circ
(arreodondado com duas casas decimais: 2{,}84^\circ).

Passo 7

Interpretação final: o ângulo entre a reta e o plano é bem pequeno, cerca de 2{,}84^\circ.

Resposta

b. 2,84^\circ

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