Questão 4 Se a expansão em senos de f(x), definida no intervalo [0, L] é dada por:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \sin \left(\frac{n \pi}{L} x\right)
  • quais sāo os coeficientes b_{n} da expansão em senos da função g(x)=f(x)-\frac{1}{3} \sin \left(\frac{3 \pi}{\mathrm{~L}} x\right), definida no intervalo [0, L] ?

Passo 1

O enunciado fornece a expansão em senos de f(x) no intervalo [0,L]:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Pede-se os coeficientes b_{n} da expansão em senos da função
g(x)=f(x)-\frac{1}{3}\sin\!\left(\frac{3\pi}{L}x\right),
também definida em [0,L].

Passo 2

Lembrete útil (fórmula dos coeficientes e por que ela vale). Para uma função h(x) com série em senos na base \{\sin(\tfrac{n\pi}{L}x)\}_{n\ge1}, o coeficiente b_n é dado por projeção (linear):
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} h(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.
Isso vem da propriedade de ortogonalidade da base seno no intervalo [0,L].

Passo 3

Escrevendo g(x) na integral de projeção e usando linearidade da integral:
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\left[f(x)-\frac{1}{3}\sin\!\left(\frac{3\pi}{L}x\right)\right]\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx -\frac{2}{L}\cdot\frac{1}{3}\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{3\pi}{L}x\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.

Passo 4

Usar a expansão de f(x) e a ortogonalidade. Substituindo f(x)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^2}\sin(\tfrac{k\pi}{L}x) e trocando soma e integral,
\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx =\frac{2}{L}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{k\pi}{L}x\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.
Pela ortogonalidade vale
\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{k\pi}{L}x\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx= \begin{cases} 0, & k\neq n,\\[4pt] \dfrac{L}{2}, & k=n. \end{cases}
Logo a soma colapsa e fica
\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx=\frac{2}{L}\cdot\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{L}{2}=\frac{1}{n^{2}}.]

Passo 5

Avaliar a segunda integral usando ortogonalidade:
\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{3\pi}{L}x\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx=\frac{L}{2}\,\delta_{n3},
onde \delta_{n3}=1 se n=3 e 0 caso contrário. Portanto
\frac{2}{L}\cdot\frac{1}{3}\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{3\pi}{L}x\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx =\frac{2}{L}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{L}{2}\,\delta_{n3}=\frac{1}{3}\,\delta_{n3}.

Passo 6

Juntando os dois termos obtidos:
b_n=\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{3}\,\delta_{n3}.
Isto significa explicitamente que para n\neq3 o coeficiente não muda e para n=3 há uma subtração:
b_{n}=\begin{cases} \dfrac{1}{n^{2}}, & n\neq 3,\\[6pt] \dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2}{9}, & n=3. \end{cases}]

Resposta

b_{n}=\frac{1}{n^{2}}\quad (n\neq 3),\qquad b_{3}=-\frac{2}{9}.

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