Os carros flex desempenham um papel crucial na mobilidade sustentável no Brasil. Seus motores a combustão permitem o uso de etanol ou gasolina ou mesmo as suas misturas, dando ao consumidor liberdade de escolha conforme o preço e a disponibilidade dos combustíveis. Além disso, o etanol é uma fonte renovável com menor emissão de gases de efeito estufa, contribuindo para a redução do impacto ambiental.
a) No carro flex, há um dispositivo chamado sensor lambda, que ajuda a controlar a relação entre a quantidade de ar e a quantidade de combustível. Essa relação é dada pela estequiometria da reação de combustão. Considere duas situações extremas: um carro usando apenas octano (representando a gasolina) como combustível e outro usando apenas etanol. Em qual situação a relação (quantidade de ar/quantidade de combustível) será maior? Justifique sua resposta matematicamente.
b) Em 2025, o percentual em volume de etanol na gasolina mudou de 27 \% para 30 \%. Imagine que se deseje manter o teor de 27 \% de etanol utilizando a nova gasolina. Para isso, deve-se extrair o etanol da nova gasolina por meio da adição de água, de modo a separar o etanol da mistura (deixando a gasolina com 0% de etanol). Em seguida, deve-se juntar essa gasolina sem álcool a um volume da nova gasolina, para encher completamente o tanque de 60 litros. Calcule o volume mínimo da nova gasolina a ser usado para alcançar êxito. Apresente os cálculos, mostrando claramente cada uma das variáveis.
Dados: Fórmula Molecular: Octano (gasolina): \mathrm{C}_{8} \mathrm{H}_{18}; etanol: \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que nos dão.
  • Pergunta (a): comparar a relação (quantidade de ar)/(quantidade de combustível) nos dois extremos: combustível = octano puro \mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18} (representando gasolina) e combustível = etanol puro \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6\mathrm{O}. Pergunta: em qual situação essa razão é maior? Pedem justificativa matemática.
  • Pergunta (b): com a nova gasolina contendo 30\% (em volume) de etanol, deseja-se obter no tanque de 60\\ \mathrm{L} um teor final de etanol de 27\% (em volume). Procedimento permitido: pegar uma porção da nova gasolina, extrair (por adição de água) todo o etanol dessa porção, ficando dessa porção apenas a gasolina com 0\% de etanol; em seguida misturar essa gasolina sem álcool com um volume da nova gasolina (que ainda contém 30\% de etanol) até encher o tanque. Pergunta: calcular o volume mínimo da nova gasolina que deve ser usado para ter sucesso.
  • Dados químicos fornecidos: fórmulas moleculares \mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18} (octano) e \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6\mathrm{O} (etanol).
  • Assunções padrão que vou usar e explico quando usadas:
    • O ar atmosférico tem fração molar de oxigênio aproximadamente 0{,}21 (21% em volume), ou seja, 1 mol de ar contém 0{,}21 mol de \mathrm{O}_2.
    • Massa molar média do ar \approx 28{,}97\\ \mathrm{g/mol} (valor padrão).
    • Massas atômicas usadas: M_{\mathrm{C}}\approx 12{,}01, M_{\mathrm{H}}\approx 1{,}008, M_{\mathrm{O}}\approx 16{,}00. Vou explicar passo a passo como aplicar tudo isso.

Passo 2

Balancear a combustão completa de cada combustível para encontrar a quantidade de \mathrm{O}_2 requerida por mol de combustível.
  • Para o octano \mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18}: a combustão completa produz \mathrm{CO}_2 e \mathrm{H}_2\mathrm{O}. Balanceando,
\mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18} + \dfrac{25}{2}\,\mathrm{O}_2 \longrightarrow 8\,\mathrm{CO}_2 + 9\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}.
Verificação rápida: carbono 8 → 8 \mathrm{CO}_2; hidrogênio 18 → 9 \mathrm{H}_2\mathrm{O}; oxigênios nos produtos 8\cdot2+9\cdot1=25 átomos de O, isto é 25/2 \mathrm{O}_2. Logo, por mol de octano é preciso 12{,}5 mol de \mathrm{O}_2.
  • Para o etanol \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6\mathrm{O}: balanceando,
\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6\mathrm{O} + 3\,\mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\,\mathrm{CO}_2 + 3\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}.
Verificação: carbono 2 → 2 \mathrm{CO}_2; hidrogênio 6 → 3 \mathrm{H}_2\mathrm{O}; oxigênios no total dos produtos 2\cdot2+3\cdot1=7 átomos de O; no reagente há 1 átomo de O no etanol mais 3\cdot2=6 dos \mathrm{O}_2, total 7, está coerente. Então por mol de etanol é preciso 3 mol de \mathrm{O}_2.

Passo 3

Converter a necessidade de \mathrm{O}_2 em necessidade de ar (em mols) usando a fração molar de oxigênio no ar.
  • Regra: número de mols de ar necessários por mol de combustível é
\text{mols de ar}=\dfrac{\text{mols de } \mathrm{O}_2\text{ necessários}}{0{,}21}.á
  • Para o octano:
\text{mols de ar por mol de octano}=\dfrac{12{,}5}{0{,}21}\approx 59{,}5238\\ \text{mol de ar}.
  • Para o etanol:
\text{mols de ar por mol de etanol}=\dfrac{3}{0{,}21}\approx 14{,}2857\\ \text{mol de ar}.
Esses valores mostram que, em termos de mols de ar por mol de combustível, o octano exige muito mais ar do que o etanol.

Passo 4

Passar para a razão ar/combustível por massa (esta é a forma prática usada em motores: “razão ar-combustível em massa”). Para isso preciso das massas molares.
  • Massa molar do octano:
M_{\mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18}}=8\cdot 12{,}01 + 18\cdot 1{,}008 \approx 96{,}08 + 18{,}144 = 114{,}224\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar do etanol:
M_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6\mathrm{O}}=2\cdot 12{,}01 + 6\cdot 1{,}008 + 16{,}00 \approx 24{,}02 + 6{,}048 + 16{,}00 = 46{,}068\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa de ar por mol de ar (massa molar média do ar):
M_{\text{ar}}\approx 28{,}97\\ \mathrm{g/mol}.
Agora calculo a massa de ar necessária por mol de combustível e, em seguida, a razão ar/combustível em massa.
  • Para o octano:
    mols de ar por mol de octano \approx 59{,}5238. Então massa de ar por mol de octano
m_{\text{ar}} = 59{,}5238 \times 28{,}97 \approx 1\,724{,}6\\ \mathrm{g}.
Razão ar/combustível em massa (para um mol de octano) é
\text{AF}_{\text{octano}}=\dfrac{1\,724{,}6\\ \mathrm{g}}{114{,}224\\ \mathrm{g}} \approx 15{,}09.
  • Para o etanol:
    mols de ar por mol de etanol \approx 14{,}2857. Então massa de ar por mol de etanol
m_{\text{ar}} = 14{,}2857 \times 28{,}97 \approx 413{,}9\\ \mathrm{g}.
Razão ar/combustível em massa (para um mol de etanol) é
\text{AF}_{\text{etanol}}=\dfrac{413{,}9\\ \mathrm{g}}{46{,}068\\ \mathrm{g}} \approx 8{,}99.

Passo 5

Interpretação e conclusão da parte (a).
  • Numericamente encontramos aproximadamente \text{AF}_{\text{octano}}\approx 15{,}09 (massa de ar por massa de combustível) e \text{AF}_{\text{etanol}}\approx 8{,}99.
  • Conclusão: a razão \text{(quantidade de ar)}/\text{(quantidade de combustível)}í é maior quando o combustível é octano (gasolina). Em palavras: octano requer muito mais oxigênio (logo muito mais ar) por unidade de combustível do que o etanol, por causa da composição química (o etanol já contém oxigênio na sua molécula e tem proporção menor de hidrogênio por carbono).

Passo 6

Resolver a parte (b) definindo variáveis e escrevendo as equações do problema (vou usar volumes e percentuais em volume, conforme pedido).
Definições (todas as quantidades em litros):
  • V_{\text{tanque}}=60 (volume total do tanque).
  • Teor desejado de etanol no tanque: 27\% em volume \Rightarrow volume de etanol desejado
V_{\text{Et, desejado}} = 0{,}27 \times 60 = 16{,}2\\ \mathrm{L}.
  • Nova gasolina disponível tem 30\% de etanol por volume, isto é, por litro de nova gasolina há 0{,}30\\ \mathrm{L} de etanol e 0{,}70\\ \mathrm{L} de gasolina “seca” (sem etanol).
  • Variáveis:
    • V_1 = volume inicial de nova gasolina que será processado (adiciona-se água e retira-se todo o etanol), logo desse V_1 sobra apenas gasolina pura em volume 0{,}70\,V_1 (o etanol 0{,}30\,V_1 foi separado).
    • V_2 = volume de nova gasolina que será misturado sem processamento (essa porção mantém seus 30\% de etanol).
  • Procedimento final: misturar a gasolina sem álcool obtida de V_1 (que tem volume 0{,}70\,V_1) com a nova gasolina V_2 para encher o tanque. Assim o volume total no tanque deve satisfazer
0{,}70\,V_1 + V_2 = 60.
  • O etanol presente no tanque virá somente de V_2 (pois em V_1 o etanol foi removido). Portanto o volume de etanol no tanque será
0{,}30\,V_2 = V_{\text{Et, desejado}} = 16{,}2.

Passo 7

Resolver as equações para V_2 e V_1.
  • Da equação do etanol:
0{,}30\,V_2 = 16{,}2 \quad\Rightarrow\quad V_2 = \dfrac{16{,}2}{0{,}30} = 54\\ \mathrm{L}.
  • Substituindo em 0{,}70\,V_1 + V_2 = 60:
0{,}70\,V_1 + 54 = 60 \quad\Rightarrow\quad 0{,}70\,V_1 = 6 \quad\Rightarrow\quad V_1 = \dfrac{6}{0{,}70} = 8{,}571428\ldots\\ \mathrm{L}.
Em forma fracionária V_1 = \dfrac{60-54}{0{,}7} = \dfrac{6}{0{,}7} = \dfrac{60}{7}\\ \mathrm{L}\approx 8{,}5714\\ \mathrm{L}.
  • Volume total de nova gasolina consumida da fonte (processada + não processada):
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 = 8{,}571428\ldots + 54 = 62{,}571428\ldots\\ \mathrm{L} \approx 62{,}57\\ \mathrm{L}.

Passo 8

Interpretação final da parte (b) e resposta mínima.
  • O volume V_2 de nova gasolina que precisa ser adicionado sem processamento é fixo e mínimo pela exigência de etanol: V_2=54\\ \mathrm{L}. Não é possível usar menos do que isso porque o etanol na mistura final deve ser 16{,}2\\ \mathrm{L} e a única fonte de etanol na mistura final é a nova gasolina não processada, que tem 0{,}30 L de etanol por litro.
  • Para fornecer a gasolina sem álcool suficiente para completar os 60\\ \mathrm{L}, é preciso processar V_1\approx 8{,}5714\\ \mathrm{L} da nova gasolina (dessas 8{,}5714\\ \mathrm{L}, 0{,}30\cdot 8{,}5714\approx 2{,}5714\\ \mathrm{L} de etanol é removido e 0{,}70\cdot 8{,}5714\approx 6\\ \mathrm{L} de gasolina pura sobra). Misturando os 6\\ \mathrm{L} de gasolina pura com 54\\ \mathrm{L} da nova gasolina obtém-se 60\\ \mathrm{L} com 16{,}2\\ \mathrm{L} de etanol (27%).
  • O volume total de nova gasolina extraído da fonte para esse procedimento é V_{\text{total}}\approx 62{,}5714\\ \mathrm{L} (maior que 60\\ \mathrm{L} porque parte do volume foi etanol separado e descartado/recuperado).

Resposta

a) A relação ar/combustível é maior para o octano (gasolina). (Valores aproximados: \text{AF}_{\mathrm{octano}}\approx 15{,}09 por massa e \text{AF}_{\mathrm{etanol}}\approx 8{,}99 por massa.)
b) Volume mínimo de nova gasolina a usar sem processamento para fornecer o etanol necessário: V_2=54\\ \mathrm{L}.
(Processar V_1\approx 8{,}5714\\ \mathrm{L} para obter a gasolina sem álcool; volume total de nova gasolina consumida V_{\text{total}}=V_1+V_2\approx 62{,}5714\\ \mathrm{L}.)

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