onde L>0. (Interpretei que a função está definida em [0,L]; o enunciado misturou \pi e L, então adotei o domínio [0,L] consistente com o uso de L.)
O que se pede: desenvolver f(x) em séries de senos (ou seja, encontrar a série de Fourier apenas com termos \sin\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) e determinar os coeficientes).]
Passo 2
Qual é a forma geral da série de senos e por que usamos essa forma?
Uma série de senos em [0,L]\) tem a forma
\[f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Essa base de funções \sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{L}\right) é ortogonal em [0,L]; isto é, para m,n\in\mathbb{N},
Da ortogonalidade segue a fórmula para os coeficientes b_n\]. Multiplicando a série por \(\sin\!\left(\tfrac{m\pi x}{L}\right) e integrando de 0 a L, apenas o termo n=m sobrevive, o que dá
Interpretar e simplificar os coeficientes usando valores de \sin e \cos em múltiplos de \tfrac{\pi}{2}.
Para n par, escreva n=2m com m\in\mathbb{N}. Então \sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=\sin(m\pi)=0 e \cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=\cos(m\pi)=(-1)^m. Assim