Questāo 3 Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x & , x \in[0, L / 2] \\\\ 0 & , x \in(L / 2, \pi]\end{array}\right., onde: 0<a<L. Desenvolver f(x) \mathrm{em} séries de senos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • É dada a função por partes
f(x)=\begin{cases} x, & x\in[0,\;L/2],\\[4pt] 0, & x\in(L/2,\;L], \end{cases}
onde L>0. (Interpretei que a função está definida em [0,L]; o enunciado misturou \pi e L, então adotei o domínio [0,L] consistente com o uso de L.)
  • O que se pede: desenvolver f(x) em séries de senos (ou seja, encontrar a série de Fourier apenas com termos \sin\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) e determinar os coeficientes).]

Passo 2

Qual é a forma geral da série de senos e por que usamos essa forma?
  • Uma série de senos em [0,L]\) tem a forma \[f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
  • Essa base de funções \sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{L}\right) é ortogonal em [0,L]; isto é, para m,n\in\mathbb{N},
\int_{0}^{L} \sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\begin{cases} 0, & m\ne n,\\[4pt] \dfrac{L}{2}, & m=n. \end{cases}
  • Da ortogonalidade segue a fórmula para os coeficientes b_n\]. Multiplicando a série por \(\sin\!\left(\tfrac{m\pi x}{L}\right) e integrando de 0 a L, apenas o termo n=m sobrevive, o que dá
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
  • Observação prática: como f(x)=0 em (L/2,L], a integral reduz-se a \int_{0}^{L/2} x\sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx.]

Passo 3

Calcular a integral necessária: definir k=\dfrac{n\pi}{L} e avaliar
I_n=\int_{0}^{L/2} x\sin(kx)\,dx.
Faremos integração por partes. Tome
u=x,\qquad dv=\sin(kx)\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=-\frac{\cos(kx)}{k}.
Aplicando integração por partes:
I_n=\Big[-\frac{x\cos(kx)}{k}\Big]_{0}^{L/2}+\frac{1}{k}\int_{0}^{L/2}\cos(kx)\,dx.
Agora calcule as expressões:
  • O termo de fronteira:
\Big[-\frac{x\cos(kx)}{k}\Big]_{0}^{L/2}=-\frac{L}{2}\cdot\frac{\cos\!\big(kL/2\big)}{k}-0.
  • A integral restante:
\frac{1}{k}\int_{0}^{L/2}\cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\cdot\frac{\sin(kx)}{k}\Big|_{0}^{L/2}=\frac{1}{k^2}\sin\!\big(kL/2\big).
Portanto
I_n=-\frac{L}{2}\cdot\frac{\cos\!\big(kL/2\big)}{k}+\frac{1}{k^2}\sin\!\big(kL/2\big).

Passo 4

Voltar à expressão de b_n. Lembrando que b_n=\dfrac{2}{L}I_n e que k=\dfrac{n\pi}{L}, temos
b_n=\frac{2}{L}\left(-\frac{L}{2}\cdot\frac{\cos\!\big(kL/2\big)}{k}+\frac{1}{k^2}\sin\!\big(kL/2\big)\right).
Simplificando os fatores:
b_n=-\frac{\cos\!\big(kL/2\big)}{k}+\frac{2}{Lk^2}\sin\!\big(kL/2\big).
Agora substituímos k=\dfrac{n\pi}{L} e usamos que kL/2=\dfrac{n\pi}{2}. Então
b_n=-\frac{L}{n\pi}\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\frac{2L}{n^{2}\pi^{2}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Podemos escrever também factorizando L:
b_n=L\!\left[-\frac{\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{n\pi}+\frac{2\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}}\right].

Passo 5

Interpretar e simplificar os coeficientes usando valores de \sin e \cos em múltiplos de \tfrac{\pi}{2}.
  • Para n par, escreva n=2m com m\in\mathbb{N}. Então \sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=\sin(m\pi)=0 e \cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=\cos(m\pi)=(-1)^m. Assim
b_{2m}=-\frac{L}{2m\pi}(-1)^m=\;(-1)^{m+1}\frac{L}{2m\pi}.
  • Para n ímpar, escreva n=2m+1. Então \cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=(-1)^m. Assim
b_{2m+1}=(-1)^m\frac{2L}{(2m+1)^2\pi^2}.
Portanto os coeficientes ficam explicitados separadamente para pares e ímpares, o que é útil na prática.

Passo 6

Escrever a série de senos final. Substituindo os b_n obtidos na forma da série, a expansão é
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os b_n são os calculados no passo anterior (formas geral e as formas reduzidas por paridade).

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad b_n=L\!\left[-\frac{\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n\pi}+\frac{2\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^{2}\pi^{2}}\right].
Para formas explícitas por paridade:
b_{2m}=(-1)^{m+1}\frac{L}{2m\pi},\qquad b_{2m+1}=(-1)^m\frac{2L}{(2m+1)^2\pi^2}.

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