1- Questão (2,0)

Para explicar a estabilidade do elétron no modelo atômico de Rutherford (sistema planetário), o físico dinamarquês Niels Bohr postulou que o elétron pode ocupar somente algumas órbitas ao redor do núcleo, denominadas de estados eśtacionários. Essas órbitas foram descritas impondo, como condição, que o momento angular ( L ) é múltiplo inteiro de h / 2 \pi.
L=n \frac{h}{2 \pi}, \quad n=1,2,3, \ldots
Sabendo que a força de atração eletrostática entre o elétron e núcleo é dada pela equação:
F=\frac{Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon r^{2}}
Supondo que o núcleo do átomo é fixo, demonstre que os raios das orbitas do elétron nos estados estacionários ( I_{n}, n=1,2,3,4, \ldots ) para o átomo de hidrogênio ( Z=1 ) são dados por:
r_{1}=\frac{\varepsilon h^{2}}{\pi m_{e} e^{2}}, r_{2}=4 r_{1}, r_{3}=9 r_{1}, r_{4}=16 r_{1}, \ldots
Demonstre também que, as energias do elétron nos estados estacionários ( E_{n}, n=1,2, 3,4, \ldots ) são dadas por:
E_{1}=-\frac{m_{e} e^{4}}{8 \varepsilon^{2} h^{2}}, \quad E_{2}=\frac{E_{1}}{4}, \quad E_{3}=\bigcirc \frac{E_{1}}{9}, \quad E_{4}=\frac{E_{1}}{16}, \ldots
Onde: n representa o estado estaciopạrio; m_{e} é a massa do elétron, e é a carga do elétron; \varepsilon é a constante de permissividade elétrica no vácuo e h é a constante de Planck.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo claramente):
  • Condição de quantização do momento angular:
L = n\frac{h}{2\pi},\qquad n=1,2,3,\ldots
  • Força eletrostática entre núcleo e elétron (lei de Coulomb):
F = \frac{Z e^{2}}{4\pi\varepsilon r^{2}}.
  • O núcleo é fixo e estamos pedindo o caso do átomo de hidrogênio, portanto Z=1.
  • Constantes / símbolos que usaremos:
    • m_e: massa do elétron;
    • e: carga do elétron (valor absoluto);
    • \varepsilon: permissividade elétrica do meio (no vácuo, \varepsilon_0);
    • h: constante de Planck;
    • r: raio da órbita (queremos r_n para cada n);
    • E: energia total do elétron na órbita (queremos E_n para cada n).
      O enunciado pede duas coisas:
  1. Demonstrar as expressões dos raios das órbitas estacionárias r_1, r_2, r_3,\ldots para Z=1.
  2. Demonstrar as expressões das energias dos estados estacionários E_1, E_2, E_3,\ldots.

Passo 2

Ideia física usada (sem fórmulas avançadas ainda): o elétron descreve uma órbita circular ao redor do núcleo. Para permanecer nessa órbita, a força eletrostática fornece a força centrípeta necessária. Ou seja, a força de atração coulombiana deve ser igual à massa vezes aceleração centrípeta. Escrevendo isso em fórmula:
A aceleração centrípeta para movimento circular com velocidade v e raio r é v^{2}/r. Assim a condição de equilíbrio de forças é
\frac{m_{e} v^{2}}{r} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon r^{2}}.
Aqui expliquei cada termo:
  • m_{e} v^{2}/r é a força centrípeta que mantém o elétron em órbita;
  • e^{2}/(4\pi\varepsilon r^{2}) é a magnitude da força elétrica de atração para Z=1.

Passo 3

Agora usamos a quantização do momento angular. O momento angular de uma partícula em órbita circular é L = m_{e} v r. Pelo postulado de Bohr,
m_{e} v r = n\frac{h}{2\pi}.
Isolando v em função de r e n:
v = \frac{n h}{2\pi m_{e} r}.
Observação: às vezes é mais comum escrever \hbar = h/(2\pi), então v = n\hbar/(m_e r). Aqui mantive h explícito para ligar com o enunciado.

Passo 4

Agora vamos combinar as duas equações ( m_{e} v^{2}/r igual à força coulombiana e a expressão de v da quantização) para encontrar r em função de n.
Substitui v da quantização na equação da força:
primeiro calcule v^{2}:
v^{2} = \left(\frac{n h}{2\pi m_{e} r}\right)^{2} = \frac{n^{2} h^{2}}{4\pi^{2} m_{e}^{2} r^{2}}.
Multiplicando por m_{e} e dividindo por r (como no termo centrípeto):
\frac{m_{e} v^{2}}{r} = \frac{m_{e}}{r}\cdot\frac{n^{2} h^{2}}{4\pi^{2} m_{e}^{2} r^{2}} = \frac{n^{2} h^{2}}{4\pi^{2} m_{e} r^{3}}.
Essa expressão deve ser igual à força coulombiana \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon r^{2}}. Igualando:
\frac{n^{2} h^{2}}{4\pi^{2} m_{e} r^{3}} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon r^{2}}.
Agora resolver para r. Multiplicando ambos os lados por 4\pi^{2} m_{e} r^{3}:
n^{2} h^{2} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon} \cdot 4\pi^{2} m_{e} r.
Simplificando o fator 4\pi:
n^{2} h^{2} = \left(\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon}\right)(4\pi^{2} m_{e} r) = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon}\cdot 4\pi^{2} m_{e} r = \frac{e^{2}}{\varepsilon}\,\pi m_{e} r.
Isolando r:
r = \frac{n^{2} h^{2}}{\dfrac{e^{2}}{\varepsilon}\,\pi m_{e}} = \frac{\varepsilon n^{2} h^{2}}{\pi m_{e} e^{2}}.
Portanto obtemos a lei de dependência com n:
r_{n} = \frac{\varepsilon h^{2}}{\pi m_{e} e^{2}}\,n^{2}.
Definindo o raio do primeiro nível r_{1} como o caso n=1, temos
r_{1} = \frac{\varepsilon h^{2}}{\pi m_{e} e^{2}},
e, consequentemente,
r_{2}=4r_{1},\quad r_{3}=9r_{1},\quad r_{4}=16r_{1},\ldots
(Isto mostra que r_{n} cresce como n^{2}.)

Passo 5

Agora vamos achar as energias E_{n}. Primeiro definimos energias:
  • Energia cinética do elétron: K = \dfrac{1}{2} m_{e} v^{2}.
  • Energia potencial eletrostática (referência escolhida usualmente U(\infty)=0): U(r) = -\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon r}.
A energia total é E = K + U.
Usamos a relação já encontrada entre m_{e} v^{2} e r a partir da igualdade das forças: da equação do passo 2 temos
m_{e} v^{2} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon r}.
Logo a energia cinética é
K = \frac{1}{2} m_{e} v^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon r} = \frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon r}.
Somando K e U:
E = K + U = \frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon r} - \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon r} = -\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon r}.
Portanto a energia total em função de r é
E = -\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon r}.

Passo 6

Finalmente, substituir r=r_{n} encontrado no passo 4 para escrever E em termos de n. Usando
r_{n} = \frac{\varepsilon n^{2} h^{2}}{\pi m_{e} e^{2}},
temos \dfrac{1}{r_{n}} = \dfrac{\pi m_{e} e^{2}}{\varepsilon n^{2} h^{2}}. Substituindo em E:
E_{n} = -\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon}\cdot\frac{\pi m_{e} e^{2}}{\varepsilon n^{2} h^{2}} = -\frac{m_{e} e^{4}}{8 \varepsilon^{2} h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Logo a energia do primeiro nível ( n=1) é
E_{1} = -\frac{m_{e} e^{4}}{8 \varepsilon^{2} h^{2}},
e, em geral,
E_{n} = \frac{E_{1}}{n^{2}},
o que implica E_{2}=E_{1}/4,\; E_{3}=E_{1}/9,\; E_{4}=E_{1}/16,\ldots

Resposta

r_{1}=\dfrac{\varepsilon h^{2}}{\pi m_{e} e^{2}}, r_{2}=4r_{1}, r_{3}=9r_{1}, r_{4}=16r_{1},\ldots
E_{1}=-\dfrac{m_{e} e^{4}}{8 \varepsilon^{2} h^{2}}, E_{2}=\dfrac{E_{1}}{4}, E_{3}=\dfrac{E_{1}}{9}, E_{4}=\dfrac{E_{1}}{16},\ldots

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