1- Questão
Para explicar a estabilidade do elétron no modelo atômico de Rutherford (sistema planetário), o físico dinamarquês Niels Bohr postulou que o elétron pode ocupar somente algumas órbitas ao redor do núcleo, denominadas de estados eśtacionários. Essas órbitas foram descritas impondo, como condição, que o momento angular (
) é múltiplo inteiro de
.
Sabendo que a força de atração eletrostática entre o elétron e núcleo é dada pela equação:
Supondo que o núcleo do átomo é fixo, demonstre que os raios das orbitas do elétron nos estados estacionários (
) para o átomo de hidrogênio (
) são dados por:
Demonstre também que, as energias do elétron nos estados estacionários (
,
) são dadas por:
Onde:
representa o estado estaciopạrio;
é a massa do elétron,
é a carga do elétron;
é a constante de permissividade elétrica no vácuo e
é a constante de Planck.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo claramente):
- Condição de quantização do momento angular:
- Força eletrostática entre núcleo e elétron (lei de Coulomb):
- O núcleo é fixo e estamos pedindo o caso do átomo de hidrogênio, portanto
. - Constantes / símbolos que usaremos:
-
: massa do elétron; -
: carga do elétron (valor absoluto); -
: permissividade elétrica do meio (no vácuo, ); -
: constante de Planck; -
: raio da órbita (queremos para cada ); -
: energia total do elétron na órbita (queremos para cada ).
O enunciado pede duas coisas:
-
- Demonstrar as expressões dos raios das órbitas estacionárias
para . - Demonstrar as expressões das energias dos estados estacionários
.
Passo 2
Ideia física usada (sem fórmulas avançadas ainda): o elétron descreve uma órbita circular ao redor do núcleo. Para permanecer nessa órbita, a força eletrostática fornece a força centrípeta necessária. Ou seja, a força de atração coulombiana deve ser igual à massa vezes aceleração centrípeta. Escrevendo isso em fórmula:
A aceleração centrípeta para movimento circular com velocidade
e raio
é
. Assim a condição de equilíbrio de forças é
Aqui expliquei cada termo:
-
é a força centrípeta que mantém o elétron em órbita; -
é a magnitude da força elétrica de atração para .
Passo 3
Agora usamos a quantização do momento angular. O momento angular de uma partícula em órbita circular é
. Pelo postulado de Bohr,
Isolando
em função de
e
:
Observação: às vezes é mais comum escrever
, então
. Aqui mantive
explícito para ligar com o enunciado.
Passo 4
Agora vamos combinar as duas equações (
igual à força coulombiana e a expressão de
da quantização) para encontrar
em função de
.
Substitui
da quantização na equação da força:
primeiro calcule :
primeiro calcule
Multiplicando por
e dividindo por
(como no termo centrípeto):
Essa expressão deve ser igual à força coulombiana
. Igualando:
Agora resolver para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando o fator
:
Isolando
:
Portanto obtemos a lei de dependência com
:
Definindo o raio do primeiro nível
como o caso
, temos
e, consequentemente,
(Isto mostra que
cresce como
.)
Passo 5
Agora vamos achar as energias
. Primeiro definimos energias:
- Energia cinética do elétron:
. - Energia potencial eletrostática (referência escolhida usualmente
):
A energia total é
.
Usamos a relação já encontrada entre
e
a partir da igualdade das forças: da equação do passo 2 temos
Logo a energia cinética é
Somando K e U:
Portanto a energia total em função de
é
Passo 6
Finalmente, substituir
encontrado no passo 4 para escrever
em termos de
. Usando
temos
. Substituindo em
:
Logo a energia do primeiro nível (
) é
e, em geral,
o que implica