Questão 3) a) Explique no que se baseia o método da capacitância global para determinar o tempo necessário para resfriar uma barra cilíndrica de raio R até uma dada temperatura [1,0]. b) Se a barra de aço (
) será resfriada ao ar, onde
, qual seria o maior raio da barra onde a aplicação do método da capacitância global seria possível?
Considerando que a barra inicialmente está à 1000 K e que o ar está à 300 K , quanto tempo levará para que seja atingida uma temperatura de 400 K na superfície da barra? [0,5]
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado pede e os dados fornecidos. Perguntas:
a) Explicar em que se baseia o método da capacitância global (lumped capacitance).
b) Determinar o maior raio da barra onde a aplicação do método é válida.
c) Para a barra inicialmente a imersa em ar a
, calcular o tempo para que a superfície atinja
.
a) Explicar em que se baseia o método da capacitância global (lumped capacitance).
b) Determinar o maior raio da barra onde a aplicação do método é válida.
c) Para a barra inicialmente a
Dados fornecidos (vou listar todos claramente):
(condutividade térmica do aço)
(calor específico)
(massa específica)
(coeficiente convectivo para ar)
Temperaturas: ,
, objetivo
.
Observação geométrica: barra cilíndrica de raio . Para o método da capacitância global usarei a hipótese usual de barra longa (comprimento
muito maior que
), de modo que a troca com as extremidades é desprezível comparada à superfície lateral (vou explicitar essa hipótese mais adiante).
Temperaturas:
Observação geométrica: barra cilíndrica de raio
Passo 2
O que é e em que se baseia o método da capacitância global (explicação didática, passo a passo).
- Ideia central: assumir que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme em cada instante durante o resfriamento/aque-cimento. Ou seja, não há gradientes internos importantes de temperatura. Assim podemos tratar o corpo como um único “nó térmico” com uma única temperatura
que varia no tempo. - Quando isso é aceitável? Quando a resistência térmica interna (de condução) é pequena comparada à resistência térmica de convecção na superfície. Para quantificar isso usamos o número de Biot:
onde
é o coeficiente convectivo,
a condutividade térmica e
um comprimento característico do corpo (explico
no próximo passo). Regra prática (critério usual): se
então o método da capacitância global (lumped) é normalmente aceitável com erro pequeno (tipicamente < a poucos por cento). Essa é a condição que vamos usar para decidir até que raio
o método é válido.
- Consequência útil: sob a hipótese lumped, a equação de energia para o corpo é uma equação ordinária de primeiro ordem (equilíbrio energia): ganho/perda por convecção na superfície = variação de energia interna do corpo. Isso leva a uma solução exponencial no tempo (vou derivar explicitamente na resolução).
Passo 3
Definir o comprimento característico
para o cilindro longo e obter expressão do número de Biot.
- Definição geral do comprimento característico:
onde
é o volume do corpo e
é a área de troca térmica com o fluido.
- Para um cilindro de raio
e comprimento temos volume . A área lateral é . Se o cilindro é longo (i.e., ) podemos desprezar as extremidades, então . Portanto
- Assim, para cilindro longo:
Passo 4
Aplicar o critério
para obter o maior
permitido e calcular numericamente (resolver passo a passo).
- Impor
:
- Isolando
:
(Usei
porque
.)
- Substituindo os valores
e :
- Avaliando numericamente:
Comentário prático: esse valor é bastante grande — significa que para aço (que conduz calor bem) e para um convecção moderada com ar (
), a condição de Biot pequeno é satisfeita mesmo para barras com raio da ordem de 1 m, desde que o cilindro seja longo (a hipótese de extremidades desprezíveis). Se as extremidades não forem desprezíveis, o
aumenta (porque a área total aumenta menos que o volume) e o critério deve ser reavaliado.
Passo 5
Derivar a solução temporal do modelo lumped (fórmula usada para calcular o tempo).
- Equilíbrio energia (lumped): taxa de perda por convecção na superfície
variação da energia interna:
Explico símbolos:
é a temperatura uniforme do corpo no tempo
,
é a temperatura do fluido (ar),
é a densidade,
o calor específico,
o volume e
a área de troca (aqui lateral).
- Reescrevendo e separando variáveis:
- Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução, usando
, é:
- Definimos a constante de tempo:
Para o cilindro longo com
e
temos
, logo
e
- Para obter o tempo necessário para que
basta isolar :
Passo 6
Aplicar a fórmula ao caso pedido (usar
obtido em (b)). Passo a passo das contas numéricas (sem pular etapas).
- Primeiro calcule as diferenças de temperatura:
- A razão dentro do logaritmo:
- O logaritmo natural:
- Constante
:
- Agora a expressão para
:
Substituindo
,
e
:
então
- Multiplicando pelo
:
- Converter para horas e dias para intuição:
Passo 7
Interpretação final e comentários práticos (curtos):
- Resultado de (b): o raio máximo é grande (
). Isso ocorre porque o aço tem alta condutividade , reduzindo a resistência interna. Em aplicações reais, verifique se a hipótese de “cilindro longo” é válida; se as extremidades contribuírem, recompute usando a área total e reavalie o . - Resultado de (c): usar o método lumped implica aceitar que a temperatura interna seja praticamente uniforme — com
isso é razoável; portanto o tempo calculado é confiável dentro da precisão do modelo lumped.
Resposta
a) O método da capacitância global (lumped) baseia-se em assumir temperatura uniforme no corpo em cada instante, o que é válido quando a resistência térmica interna é desprezível frente à resistência convectiva da superfície; o critério prático usado é
, com
.
b)
c) Usando o modelo lumped,
b)
c) Usando o modelo lumped,