Questão 3) a) Explique no que se baseia o método da capacitância global para determinar o tempo necessário para resfriar uma barra cilíndrica de raio R até uma dada temperatura [1,0]. b) Se a barra de aço ( \mathrm{k}=71 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ; \mathrm{c}=486 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK} ; \rho=7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) será resfriada ao ar, onde \mathrm{h}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, qual seria o maior raio da barra onde a aplicação do método da capacitância global seria possível? [\mathbf{0 , 5}] \mathrm{c}) Considerando que a barra inicialmente está à 1000 K e que o ar está à 300 K , quanto tempo levará para que seja atingida uma temperatura de 400 K na superfície da barra? [0,5]

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado pede e os dados fornecidos. Perguntas:
a) Explicar em que se baseia o método da capacitância global (lumped capacitance).
b) Determinar o maior raio da barra onde a aplicação do método é válida.
c) Para a barra inicialmente a 1000\\ \mathrm{K} imersa em ar a 300\\ \mathrm{K}, calcular o tempo para que a superfície atinja 400\\ \mathrm{K}.
Dados fornecidos (vou listar todos claramente):
\;k=71\\ \mathrm{W/mK} (condutividade térmica do aço)
\;c=486\\ \mathrm{J/kgK} (calor específico)
\;\rho=7800\\ \mathrm{kg/m^{3}} (massa específica)
\;h=12\\ \mathrm{W/m^{2}K} (coeficiente convectivo para ar)
Temperaturas: \;T_{i}=1000\\ \mathrm{K}, \;T_{\infty}=300\\ \mathrm{K}, objetivo \;T=400\\ \mathrm{K}.
Observação geométrica: barra cilíndrica de raio R. Para o método da capacitância global usarei a hipótese usual de barra longa (comprimento L muito maior que R), de modo que a troca com as extremidades é desprezível comparada à superfície lateral (vou explicitar essa hipótese mais adiante).

Passo 2

O que é e em que se baseia o método da capacitância global (explicação didática, passo a passo).
  • Ideia central: assumir que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme em cada instante durante o resfriamento/aque-cimento. Ou seja, não há gradientes internos importantes de temperatura. Assim podemos tratar o corpo como um único “nó térmico” com uma única temperatura T(t) que varia no tempo.
  • Quando isso é aceitável? Quando a resistência térmica interna (de condução) é pequena comparada à resistência térmica de convecção na superfície. Para quantificar isso usamos o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k},
onde h é o coeficiente convectivo, k a condutividade térmica e L_{c} um comprimento característico do corpo (explico L_{c} no próximo passo). Regra prática (critério usual): se
\mathrm{Bi}\lesssim 0{,}1
então o método da capacitância global (lumped) é normalmente aceitável com erro pequeno (tipicamente < a poucos por cento). Essa é a condição que vamos usar para decidir até que raio R o método é válido.
  • Consequência útil: sob a hipótese lumped, a equação de energia para o corpo é uma equação ordinária de primeiro ordem (equilíbrio energia): ganho/perda por convecção na superfície = variação de energia interna do corpo. Isso leva a uma solução exponencial no tempo (vou derivar explicitamente na resolução).

Passo 3

Definir o comprimento característico L_{c} para o cilindro longo e obter expressão do número de Biot.
  • Definição geral do comprimento característico:
L_{c}=\frac{V}{A_{s}},
onde V é o volume do corpo e A_{s} é a área de troca térmica com o fluido.
  • Para um cilindro de raio R e comprimento L temos volume V=\pi R^{2}L. A área lateral é A_{\text{lateral}}=2\pi R L. Se o cilindro é longo (i.e., L\gg R) podemos desprezar as extremidades, então A_{s}\approx 2\pi R L. Portanto
L_{c}=\frac{V}{A_{s}}=\frac{\pi R^{2}L}{2\pi R L}=\frac{R}{2}.
  • Assim, para cilindro longo:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k}=\frac{h}{k}\cdot\frac{R}{2}=\frac{hR}{2k}.

Passo 4

Aplicar o critério \mathrm{Bi}\le 0{,}1 para obter o maior R permitido e calcular numericamente (resolver passo a passo).
  • Impor \mathrm{Bi}\le 0{,}1:
\frac{hR}{2k}\le 0{,}1.
  • Isolando R:
R \le \frac{0{,}2\,k}{h}.
(Usei 0{,}2 porque 2\times0{,}1=0{,}2.)
  • Substituindo os valores k=71\\ \mathrm{W/mK} e h=12\\ \mathrm{W/m^{2}K}:
R_{\max}=\frac{0{,}2\times71}{12}=\frac{71}{60}\\ \mathrm{m}.
  • Avaliando numericamente:
R_{\max}=\frac{71}{60}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}18\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: esse valor é bastante grande — significa que para aço (que conduz calor bem) e para um convecção moderada com ar ( h=12), a condição de Biot pequeno é satisfeita mesmo para barras com raio da ordem de 1 m, desde que o cilindro seja longo (a hipótese de extremidades desprezíveis). Se as extremidades não forem desprezíveis, o L_{c} aumenta (porque a área total aumenta menos que o volume) e o critério deve ser reavaliado.

Passo 5

Derivar a solução temporal do modelo lumped (fórmula usada para calcular o tempo).
  • Equilíbrio energia (lumped): taxa de perda por convecção na superfície = - variação da energia interna:
h A_{s}\bigl(T(t)-T_{\infty}\bigr)=-\rho c V \frac{dT}{dt}.
Explico símbolos: T(t) é a temperatura uniforme do corpo no tempo t, T_{\infty} é a temperatura do fluido (ar), \rho é a densidade, c o calor específico, V o volume e A_{s} a área de troca (aqui lateral).
  • Reescrevendo e separando variáveis:
\frac{dT}{dt}=-\frac{hA_{s}}{\rho c V}\bigl(T-T_{\infty}\bigr).
  • Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução, usando T(0)=T_{i}, é:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\exp\!\Bigl(-\frac{hA_{s}}{\rho c V}\,t\Bigr).
  • Definimos a constante de tempo:
\tau=\frac{\rho c V}{hA_{s}}.
Para o cilindro longo com V=\pi R^{2}L e A_{s}=2\pi R L temos A_{s}/V=2/R, logo
\frac{hA_{s}}{\rho c V}=\frac{2h}{\rho c R}
e
\tau=\frac{\rho c R}{2h}.
  • Para obter o tempo necessário para que T(t)=T basta isolar t:
t=-\tau\ln\!\Bigl(\frac{T-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\Bigr) =\frac{\rho c R}{2h}\ln\!\Bigl(\frac{T_{i}-T_{\infty}}{T-T_{\infty}}\Bigr).

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso pedido (usar R=R_{\max} obtido em (b)). Passo a passo das contas numéricas (sem pular etapas).
  • Primeiro calcule as diferenças de temperatura:
T_{i}-T_{\infty}=1000-300=700\\ \mathrm{K},
T-T_{\infty}=400-300=100\\ \mathrm{K}.
  • A razão dentro do logaritmo:
\frac{T_{i}-T_{\infty}}{T-T_{\infty}}=\frac{700}{100}=7.
  • O logaritmo natural:
\ln(7)\approx 1{,}945910149.
  • Constante \rho c:
\rho c=7800\times486=3\,790\,800\\ \mathrm{J/(m^{3}K)}.
  • Agora a expressão para t:
t=\frac{\rho c R}{2h}\ln(7).
Substituindo \rho c=3\,790\,800\\ \mathrm{J/(m^{3}K)}, h=12\\ \mathrm{W/m^{2}K} e R=R_{\max}=\dfrac{71}{60}\\ \mathrm{m}:
\frac{\rho c}{2h}=\frac{3\,790\,800}{24}=157\,950\\ \mathrm{\frac{J\cdot s}{m^{3}K\cdot W}}\\ (\text{unidade equivalente a s/m}),
então
\frac{\rho c R}{2h}=157\,950\times\frac{71}{60}=186\,907{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Multiplicando pelo \ln(7):
t=186\,907{,}5\times 1{,}945910149\approx 3,637\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
  • Converter para horas e dias para intuição:
t\approx 3{,}64\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx 101\\ \mathrm{h}\approx 4{,}2\\ \mathrm{dias}.

Passo 7

Interpretação final e comentários práticos (curtos):
  • Resultado de (b): o raio máximo é grande ( \approx 1{,}18\\ \mathrm{m}). Isso ocorre porque o aço tem alta condutividade k, reduzindo a resistência interna. Em aplicações reais, verifique se a hipótese de “cilindro longo” é válida; se as extremidades contribuírem, recompute L_{c} usando a área total A_{s}=2\pi R L+2\pi R^{2} e reavalie o \mathrm{Bi}.
  • Resultado de (c): usar o método lumped implica aceitar que a temperatura interna seja praticamente uniforme — com \mathrm{Bi}\le0{,}1 isso é razoável; portanto o tempo calculado é confiável dentro da precisão do modelo lumped.

Resposta

a) O método da capacitância global (lumped) baseia-se em assumir temperatura uniforme no corpo em cada instante, o que é válido quando a resistência térmica interna é desprezível frente à resistência convectiva da superfície; o critério prático usado é \mathrm{Bi}=\dfrac{hL_{c}}{k}\lesssim 0{,}1, com L_{c}=V/A_{s}.
b) R_{\max}=\dfrac{0{,}2\,k}{h}=\dfrac{71}{60}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}18\\ \mathrm{m}.
c) Usando o modelo lumped, \;t=\dfrac{\rho c R}{2h}\ln\!\bigl(\dfrac{700}{100}\bigr)\approx 3{,}64\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx 101\\ \mathrm{h}\approx 4{,}2\\ \mathrm{dias}.

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