Questão 8. Explique por que a equação de de Broglie não é adequada quando se avalia um objeto macroscópico em movimento, como por exemplo, uma bola de tênis.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos por que a relação de de Broglie
\lambda = \frac{h}{p}
não faz sentido prático para objetos macroscópicos em movimento (por exemplo, uma bola de tênis).
O conteúdo aqui é o caráter ondulatório da matéria na mecânica quântica e vamos precisar usar ordem de grandeza para comparar o comprimento de onda quântico com escalas macroscópicas.

Passo 2

Lembramos que a frequência de onda associada a qualquer partícula de massa m e velocidade v é dada por
\lambda = \frac{h}{p} \quad\text{onde}\quad p = m\,v
e h é a constante de Planck, h = 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}. Esse resultado vem de unir a relação de Einstein–Planck E = h\,\nu com E = p^2/(2m) para partículas não-relativísticas.

Passo 3

Vamos estimar a ordem de grandeza de \lambda para uma bola de tênis típica.
Suponha
m = 0{,}058\\ \mathrm{kg},\quad v = 50\\ \mathrm{m/s}.
Então
p = m\,v = 0{,}058 \times 50 = 2{,}9\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
e portanto
\lambda = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{2{,}9} \approx 2{,}3\times10^{-34}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Comparemos esse valor com escalas onde efeitos quânticos se manifestam:
um átomo típico tem dimensões da ordem de 10^{-10}\,\mathrm{m}. Logo,
\lambda_{\text{bola}} \sim 10^{-34}\,\mathrm{m} \ll 10^{-10}\,\mathrm{m}.
Para observar interferência ou difração, o comprimento de onda precisa ser comparável às dimensões do sistema ou dos obstáculos. No caso da bola de tênis, \lambda é cerca de 10^{24} vezes menor que um átomo, ou seja, fenômenos ondulatórios são totalmente indetectáveis.

Passo 5

Como o comprimento de onda quântico da bola de tênis é absurdamente pequeno, quaisquer efeitos de interferência, difração ou incerteza quântica são desprezíveis. Isso justifica usar a mecânica clássica (Newtoniana) para descrever o movimento de corpos macroscópicos, pois a descrição ondulatória não traz nenhuma consequência observável.

Resposta

A equação de de Broglie não é adequada para objetos macroscópicos porque o comprimento de onda \lambda = h/(m\,v) fica extremamente pequeno (da ordem de 10^{-34}\,\mathrm{m} para uma bola de tênis), muito menor que qualquer escala física relevante, tornando os efeitos quânticos completamente imperceptíveis.

Exercícios relacionados