Usando o princípio da incerteza de Heisenberg, calcule a incerteza na posição de um elétron se movendo a uma velocidade de 3,00 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} com incerteza de 1 \%. Tendo em mente que o diâmetro de um átomo de hidrogênio mede aproximadamente 1,0 \times 10^{-10} \mathrm{~m}, o que podemos concluir quanto a localização do elétron?

Passo 1

O enunciado pede para usar o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar a incerteza na posição de um elétron que se move com velocidade v=3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} e incerteza relativa de 1\%. A ideia é usar
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde \Delta p = m_e\,\Delta v. Em seguida comparamos \Delta x com o diâmetro do átomo de hidrogênio \sim1{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a incerteza na velocidade:
\Delta v = 0{,}01\,v = 0{,}01\times3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} = 3{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a incerteza no momento linear:
\Delta p = m_e\,\Delta v,
onde m_e=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. Logo,
\Delta p = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\;\times\;3{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} =2{,}73\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Aplicar o princípio da incerteza para obter \Delta x:
\Delta x \ge \frac{\hbar}{2\,\Delta p},
com \hbar=1{,}055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. Então
\Delta x \ge \frac{1{,}055\times10^{-34}}{2\times2{,}73\times10^{-27}}\\ \mathrm{m} \approx1{,}93\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Comparando com o diâmetro atômico 1{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}, vemos que
\Delta x \sim2\times10^{-8}\\ \mathrm{m}
é cerca de 200 vezes maior que 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Portanto, ao medir a velocidade com 1% de precisão, a localização do elétron fica muito mais difusa do que o tamanho do átomo de hidrogênio.

Resposta

A incerteza na posição é \Delta x\approx2\times10^{-8}\\ \mathrm{m}, muito maior que 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Isso mostra que, com essa precisão na velocidade, o elétron não pode ser localizado dentro do diâmetro do átomo de hidrogênio.

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