Questão 5. Explique qual a relação matemática entre o pH e o pOH . Para isto, inclua em sua explicação a (i) auto-ionização da água e (ii) a sua constante de equilíbrio, explicitando os conceitos envolvidos, bem como as equações químicas e matemáticas. (Valor: 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que eu explique a relação matemática entre o pH e o pOH, incluindo (i) a auto-ionização da água e (ii) a sua constante de equilíbrio, explicitando conceitos, equações químicas e matemáticas. Informações relevantes que vou usar (essas são as peças que o enunciado exige que apareçam):
  • A equação química da auto-ionização da água (forma comum e forma com hidrônio).
  • As concentrações de íons que aparecem nessa reação: [H^+] (ou [H_3O^+]) e [OH^-].
  • A definição da constante de equilíbrio da água, K_w.
  • As definições de \mathrm{pH} e \mathrm{pOH}.
  • O valor usual de K_w a 25^\circ\mathrm{C}, que é 1{,}0\times10^{-14} (quando se usa concentrações em mol·L^{-1} como aproximação das atividades).
    Nada será assumido como conhecido: vou explicar cada conceito e cada passo matemático.

Passo 2

Auto-ionização da água — conceito e equação química.
  • O que acontece: mesmo a água pura se ioniza levemente, algumas moléculas cedem um próton a outras, formando íons hidrônio e hidroxila. É um equilíbrio químico muito deslocado para a esquerda (pouca ionização).
  • Equações químicas (duas formas equivalentes, escolher uma conforme hábito do curso):
\mathrm{2\,H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + OH^-}
ou, de forma simplificada (usada em muitos livros):
\mathrm{H_2O \rightleftharpoons H^+ + OH^-}
  • Significado das espécies:
    • [H^+] representa a concentração dos prótons livres na solução (na prática usa-se [H_3O^+] como forma correta).
    • [OH^-] representa a concentração de íons hidroxila.
  • Como reação de equilíbrio, pode-se escrever uma constante de equilíbrio que relaciona as concentrações no equilíbrio.

Passo 3

Constante de equilíbrio da água ( K_w) — definição e interpretação.
  • Definição (usando concentrações molares como aproximação das atividades):
K_w \;=\; [H^+]\,[OH^-].
  • O que isso diz: o produto das concentrações de [H^+] e [OH^-] em qualquer solução aquosa em equilíbrio (a uma dada temperatura) é igual a K_w.
  • Valor a 25^\circ\mathrm{C}: experimentalmente encontra-se
K_w = 1{,}0\times10^{-14}.
  • Consequência para água pura: em água pura [H^+]=[OH^-]. Então
[H^+]^2 = K_w \quad\Rightarrow\quad [H^+] = \sqrt{K_w} = \sqrt{1{,}0\times10^{-14}} = 1{,}0\times10^{-7}\\ \text{mol·L}^{-1}.
Isso leva ao pH neutro (explicação no próximo passo).

Passo 4

Definições de \mathrm{pH} e \mathrm{pOH} e por que usamos log.
  • Definições:
\mathrm{pH} = -\log_{10}\big([H^+]\big), \qquad \mathrm{pOH} = -\log_{10}\big([OH^-]\big).
  • O que significa cada símbolo:
    • [H^+] e [OH^-] são concentrações em mol·L^{-1}.
    • \log_{10} é o logaritmo decimal.
    • O sinal negativo é usado para que soluções diluídas (com [H^+] pequeno) tenham pH positivo e intuitivo (p.ex. água pura dá pH sob torno de 7).
  • Exemplo rápido (ligado ao Passo 3): para água pura com [H^+]=1{,}0\times10^{-7},
\mathrm{pH} = -\log_{10}\big(1{,}0\times10^{-7}\big) = 7.

Passo 5

Derivação matemática da relação entre \mathrm{pH} e \mathrm{pOH}.
  • Parto de K_w = [H^+][OH^-].
K_w = [H^+]\,[OH^-]
  • Aplico -\log_{10} aos dois lados. Lembre que -\log_{10}(ab) = -\log_{10}a -\log_{10}b.
-\log_{10}(K_w) = -\log_{10}\big([H^+][OH^-]\big) = -\log_{10}\big([H^+]\big) - \log_{10}\big([OH^-]\big).
  • Uso as definições de \mathrm{pH} e \mathrm{pOH} e defino pK_w:
pK_w \equiv -\log_{10}(K_w),
pK_w = \mathrm{pH} + \mathrm{pOH}.
  • Esta é a relação geral, válida para a temperatura em que K_w foi medida (ou para o valor correspondente de K_w àquela temperatura).
  • Substituindo o valor a 25^\circ\mathrm{C}: como K_w = 1{,}0\times10^{-14},
pK_w = -\log_{10}\big(1{,}0\times10^{-14}\big) = 14,
logo, a relação numérica familiar:
\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14 \quad\text{(a }25^\circ\mathrm{C}\text{).}

Passo 6

Consequências práticas e exemplos — como usar na prova.
  • Para encontrar \mathrm{pOH} quando se dá \mathrm{pH}:
\mathrm{pOH} = pK_w - \mathrm{pH}.
  • Exemplos numéricos (usando pK_w=14 a 25^\circ\mathrm{C}):
    • Se \mathrm{pH}=7 (água neutra), então \mathrm{pOH}=14-7=7.
    • Se \mathrm{pH}=3 (solução ácida), então \mathrm{pOH}=14-3=11.
    • Se \mathrm{pH}=12 (solução básica), então \mathrm{pOH}=14-12=2.
  • Observações importantes (que podem cair em prova ou em questões mais avançadas):
    • A relação exata é \mathrm{pH}+\mathrm{pOH}=pK_w. O valor 14 vale apenas à temperatura onde K_w=1{,}0\times10^{-14}, tipicamente 25^\circ\mathrm{C}. Em outras temperaturas K_w muda e, portanto, muda pK_w.
    • Estritamente falando, pH e pOH são definidos a partir de atividades, não de concentrações; porém em soluções diluídas usa-se concentrações como aproximação prática.
    • Em soluções muito concentradas é preciso correção por atividade; aí a conta direta com pH=-\log[H^+] perde precisão.

Passo 7

Resumo final curto e motivador (dica rápida para prova).
  • Memorizando a fórmula geral e a numérica para 25^\circ\mathrm{C} resolve a maioria das questões:
\text{Geral:}\quad \mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = pK_w.
\text{A }25^\circ\mathrm{C}:\quad \mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14.
  • Dica de prova: se pedirem calcular um dos dois e derem o outro, use \mathrm{pOH}=pK_w-\mathrm{pH} (ou vice-versa). Se pedirem justificar, explique a auto-ionização da água e derive K_w=[H^+][OH^-] e então aplique o -\log.

Resposta

\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = pK_w
\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14 (a 25^\circ\mathrm{C})

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