Questão 1: Explique o que é o teorema de Stevin.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o que é o teorema de Stevin.
Informações dadas: nenhuma numérica — só a solicitação de explicação.

Passo 2

Contexto físico e definição das variáveis que vamos usar (tudo bem explicadinho):
  • Considerar um fluido em repouso (não fluindo) sob ação da gravidade.
  • Denotar por \rho a densidade do fluido, em unidades de \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Denotar por g a aceleração da gravidade, em \mathrm{m\,s^{-2}} (usar g\approx9,81 se necessário).
  • Denotar por p a pressão no fluido, em pascal ( \mathrm{Pa}=\mathrm{N\,m^{-2}}).
  • Denotar por h a diferença vertical (profundidade) entre dois pontos do fluido, em metros.
    Explicação intuitiva: o que Stevin fala é como a pressão muda quando a gente desce verticalmente num líquido — quanto mais fundo, maior a pressão.

Passo 3

Derivação passo a passo (força e equilíbrio num pequeno cilindro de fluido):
  • Pegue uma coluna cilíndrica imaginária do fluido com área de base A e altura h entre dois pontos horizontais: topo (ponto superior) e fundo (ponto inferior).
  • Forças verticais que atuam no cilindro: pressão no topo empurra para baixo com magnitude p_{\text{top}}A; pressão no fundo empurra para cima com magnitude p_{\text{bot}}A; e o peso do fluido dentro do cilindro puxa para baixo com magnitude m g, onde m é a massa do fluido dentro do cilindro.
  • A massa do fluido é m=\rho A h, então o peso é \rho A h g.
  • Como o fluido está em repouso, o cilindro está em equilíbrio vertical: soma das forças verticais = 0. Tomando positiva a direção para cima,
p_{\text{bot}}A - p_{\text{top}}A - \rho A h g = 0.
  • Simplificando (dividindo por A):
p_{\text{bot}} = p_{\text{top}} + \rho g h.
Essa é a relação central: a pressão no ponto inferior é a pressão no ponto superior mais \rho g h.

Passo 4

Forma geral do teorema de Stevin e interpretação das grandezas:
  • Fórmula usual (para dois pontos A e B, com h medido verticalmente de A até B):
p(B) = p(A) + \rho g \, h,
onde \,h é a diferença de altura vertical entre A e B (positiva quando B está abaixo de A).
  • Interpretação: a variação de pressão entre dois pontos no mesmo líquido em equilíbrio depende somente da diferença vertical entre eles, da densidade do líquido e de g. Não depende da forma do recipiente, nem do caminho entre os pontos — só da altura vertical.
  • Unidades e ordem de grandeza: \rho g h tem unidades de pressão ( \mathrm{kg\,m^{-3}}\cdot\mathrm{m\,s^{-2}}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{N\,m^{-2}}=\mathrm{Pa}). Para água \rho\approx1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, g\approx9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, então um metro de profundidade adiciona cerca de 9{,}81\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} (≈ 9{,}81\\ \mathrm{kPa}).

Passo 5

Exemplo numérico prático (passo a passo para fixar):
  • Pergunta típica: qual a pressão absoluta a h=10\\ \mathrm{m} abaixo da superfície, sabendo que a pressão na superfície é a pressão atmosférica p_{\text{atm}}=101325\\ \mathrm{Pa} e que o líquido é água com \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}?
  • Aplicar Stevin: p_{\text{fundo}} = p_{\text{atm}} + \rho g h.
  • Substituindo números (tudo em TeX):
p_{\text{fundo}} = 101325 + 1000\cdot 9{,}81 \cdot 10.
  • Calcular \rho g h = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 10 = 98100\\ \mathrm{Pa}.
  • Logo p_{\text{fundo}} = 101325 + 98100 = 199425\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Comentário prático: portanto a pressão praticamente dobra a 10 m de profundidade em água devido à coluna de água acima.

Passo 6

Consequências úteis e aplicações de prova (como usar o teorema na prática):
  • Pressão igual em um mesmo nível: em recipientes comunicantes, fluidos conectados têm a mesma pressão à mesma profundidade; é por isso que a superfície em recipientes comunicantes se ajusta para níveis iguais (se o fluido for o mesmo).
  • Hidrostática e forças: a pressão local sobre uma superfície é dada por Stevin; a força resultante sobre uma superfície plana horizontal é F=p\cdot A usando a pressão no nível dessa superfície. Para superfícies inclinadas ou curvas, é preciso integrar a pressão sobre a área, mas a variação de pressão com a profundidade continua sendo \rho g h.
  • Hidrostática paradoxal: a força sobre o fundo depende apenas da altura do líquido e da área do fundo, não do volume total do líquido nem da forma do recipiente. Isso vem direto de Stevin.
  • Gás compressível: para gases, a densidade \rho varia com a pressão/temperatura; Stevin na forma simples \rho g h vale para fluidos incompressíveis (líquidos) ou dentro de intervalos onde \rho pode ser considerado constante. Para gases em grandes variações, faz-se integração com \rho(p).

Passo 7

Passo-a-passo que eu recomendaria na prova (checklist rápido):
  1. Escolher dois pontos A e B e medir a diferença vertical h (sempre a componente vertical!).
  2. Verificar se a densidade \rho pode ser tratada como constante (líquidos comuns: sim).
  3. Aplicar a fórmula \;p(B)=p(A)+\rho g h\; com unidades consistentes.
  4. Se pedem força em uma área, multiplicar a pressão local pela área ou integrar se a pressão variar na superfície.
  5. Verificar sentido: se B está acima de A, usar h negativo (pressão diminui ao subir).

Passo 8

Erros comuns a evitar (dicas de colega amigo):
  • Não usar a distância inclinada entre pontos; usar sempre a diferença vertical.
  • Esquecer a pressão de referência: muitas vezes a pressão na superfície não é zero, é p_{\text{atm}}.
  • Aplicar \rho g h para gases sem checar compressibilidade.
  • Esquecer de usar unidades SI consistentes (kg, m, s).

Resposta

O lei de Stevin afirma que, em um fluido em repouso com densidade \rho constante, a diferença de pressão entre dois pontos verticalmente separados por uma altura \,h é dada por \;p(B)-p(A)=\rho g h\; (ou equivalentemente \;p(B)=p(A)+\rho g h\; quando B está abaixo de A), ou seja, a pressão aumenta linearmente com a profundidade e depende apenas da densidade do fluido, da gravidade e da diferença de altura.

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