An experiment is to be conducted to determine the heat transfer coefficient on the surfaces of tomatoes that are placed in cold water at 7^{\circ} \mathrm{C}. The tomatoes \left(k=0,59 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, \alpha=0,141 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \rho=999 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=3,99 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot\right. K ) with an initial uniform temperature of 30^{\circ} \mathrm{C} are spherical with a diameter of 8 cm . After 2 h , the temperatures at the center and the surface of the tomatoes are measured to be 10,0^{\circ} \mathrm{C} and 7,1^{\circ} \mathrm{C}, respectively. Using the analytical oneterm approximation method, determine the heat transfer coefficient and the amount of heat transfer during this period if there are eight such tomatoes in water.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado:
Temperatura do banho: T_{\infty}=7^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura inicial uniforme do tomate: T_i=30^{\circ}\mathrm{C}.
Após t=2\\ \text{h}=7200\\ \text{s}:
Temperatura no centro: T_{c}(t)=10{,}0^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura na superfície: T_{s}(t)=7{,}1^{\circ}\mathrm{C}.
Geometria: esferas de diâmetro D=8\\ \mathrm{cm}\Rightarrow R=0{,}04\\ \mathrm{m}.
Número de tomates: N=8.
O que o problema pede:
Determinar o coeficiente de transferência de calor na superfície dos tomates, i.e. h.
Determinar a quantidade de calor trocada durante o período para os oito tomates (energia removida da fruta).
Observações importantes (do enunciado): usar a aproximação analítica de um termo (one-term approximation). A resolução começa agora.
Passo 2
Explicando a aproximação de um termo para uma esfera — ideias e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático).
Quando se resolve condução transiente dentro de uma esfera com convecção na superfície, a solução separável dá uma série de modos eigenfuncionais. A aproximação de um termo mantém apenas o primeiro modo dominante — isto é aceitável quando o primeiro modo domina a resposta (quase sempre após algum tempo).
Trabalhamos com temperatura adimensional (temperatura reduzida):
Para calcular a energia trocada, é conveniente obter a temperatura média da esfera \overline{T}(t). Em termos adimensionais, a temperatura média da esfera na aproximação de um termo é
(Derivação curta: \theta_{\text{avg}}=\dfrac{3}{R^3}\int_0^R \theta(r,t) r^2 dr e usar a forma do modo único; o integral \int_0^1 \xi\sin(\lambda\xi)\,d\xi leva ao fator (\sin\lambda-\lambda\cos\lambda)/\lambda^2.)
A energia removida por uma única esfera até o tempo t é
Q_{\text{1}}=m c_p \bigl(T_i-\overline{T}(t)\bigr) = m c_p (T_i-T_{\infty})\bigl(1-\theta_{\text{avg}}(t)\bigr).
Com m=\rho V e V=\tfrac{4}{3}\pi R^3. A energia total para N tomates é Q_{\text{tot}}=N Q_1.
Agora aplicamos as fórmulas com os valores numéricos.
Passo 3
Calcular as temperaturas adimensionais medidas e a razão \theta_s/\theta_c para achar \lambda_1.
Resolvendo \dfrac{\sin\lambda_1}{\lambda_1}=\dfrac{1}{30} numericamente (buscamos a primeira raiz no intervalo 0<\lambda<\pi, já que o primeiro modo está aí). Fazendo iterações (ou usando uma calculadora), encontra-se