An experiment is to be conducted to determine the heat transfer coefficient on the surfaces of tomatoes that are placed in cold water at 7^{\circ} \mathrm{C}. The tomatoes \left(k=0,59 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, \alpha=0,141 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \rho=999 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=3,99 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot\right. K ) with an initial uniform temperature of 30^{\circ} \mathrm{C} are spherical with a diameter of 8 cm . After 2 h , the temperatures at the center and the surface of the tomatoes are measured to be 10,0^{\circ} \mathrm{C} and 7,1^{\circ} \mathrm{C}, respectively. Using the analytical oneterm approximation method, determine the heat transfer coefficient and the amount of heat transfer during this period if there are eight such tomatoes in water.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Temperatura do banho: T_{\infty}=7^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial uniforme do tomate: T_i=30^{\circ}\mathrm{C}.
  • Após t=2\\ \text{h}=7200\\ \text{s}:
    • Temperatura no centro: T_{c}(t)=10{,}0^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura na superfície: T_{s}(t)=7{,}1^{\circ}\mathrm{C}.
  • Propriedades do tomate (assumidas constantes):
    • Condutividade térmica: k=0{,}59\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Difusividade térmica: \alpha=0{,}141\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
    • Densidade: \rho=999\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Calor específico: c_p=3{,}99\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=3990\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Geometria: esferas de diâmetro D=8\\ \mathrm{cm}\Rightarrow R=0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Número de tomates: N=8.
O que o problema pede:
  1. Determinar o coeficiente de transferência de calor na superfície dos tomates, i.e. h.
  2. Determinar a quantidade de calor trocada durante o período para os oito tomates (energia removida da fruta).
Observações importantes (do enunciado): usar a aproximação analítica de um termo (one-term approximation). A resolução começa agora.

Passo 2

Explicando a aproximação de um termo para uma esfera — ideias e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Quando se resolve condução transiente dentro de uma esfera com convecção na superfície, a solução separável dá uma série de modos eigenfuncionais. A aproximação de um termo mantém apenas o primeiro modo dominante — isto é aceitável quando o primeiro modo domina a resposta (quase sempre após algum tempo).
  • Trabalhamos com temperatura adimensional (temperatura reduzida):
\theta(r,t)=\frac{T(r,t)-T_{\infty}}{T_i-T_{\infty}}.
  • No one-term para esfera a solução aproximada é (modo n=1):
\theta(r,t)\approx A_1\,\exp\!\left(-\lambda_1^{2}\frac{\alpha t}{R^{2}}\right)\frac{\sin(\lambda_1 r/R)}{(r/R)}.
  • No centro ( r=0) a razão \dfrac{\sin(\lambda_1 r/R)}{(r/R)}\to1, então
\theta_c(t)\equiv\theta(0,t)=A_1\,\exp\!\left(-\lambda_1^{2}\frac{\alpha t}{R^{2}}\right).
  • Na superfície ( r=R):
\theta_s(t)\equiv\theta(R,t)=A_1\,\exp\!\left(-\lambda_1^{2}\frac{\alpha t}{R^{2}}\right)\frac{\sin\lambda_1}{\lambda_1}.
  • Tomando a razão surface/center elimina A_1 e o fator exponencial:
\frac{\theta_s(t)}{\theta_c(t)}=\frac{\sin\lambda_1}{\lambda_1}.
Isto é muito útil: com as temperaturas medidas no mesmo instante podemos achar \lambda_1 resolvendo \sin\lambda_1/\lambda_1=\theta_s/\theta_c.
  • A condição de contorno (convecção na superfície) fornece a equação transcendental que relaciona \lambda_1 e o número de Biot adimensional \mathrm{Bi}:
\mathrm{Bi}=1-\lambda_1\cot\lambda_1, \qquad \text{onde}\quad \mathrm{Bi}=\frac{hR}{k}.
Dessa equação se obtém \mathrm{Bi} e, então,
h=\frac{\mathrm{Bi}\,k}{R}.
  • Para calcular a energia trocada, é conveniente obter a temperatura média da esfera \overline{T}(t). Em termos adimensionais, a temperatura média da esfera na aproximação de um termo é
\theta_{\text{avg}}(t)=3\,\theta_c(t)\,\frac{\sin\lambda_1-\lambda_1\cos\lambda_1}{\lambda_1^{2}}.
(Derivação curta: \theta_{\text{avg}}=\dfrac{3}{R^3}\int_0^R \theta(r,t) r^2 dr e usar a forma do modo único; o integral \int_0^1 \xi\sin(\lambda\xi)\,d\xi leva ao fator (\sin\lambda-\lambda\cos\lambda)/\lambda^2.)
  • A energia removida por uma única esfera até o tempo t é
Q_{\text{1}}=m c_p \bigl(T_i-\overline{T}(t)\bigr) = m c_p (T_i-T_{\infty})\bigl(1-\theta_{\text{avg}}(t)\bigr).
Com m=\rho V e V=\tfrac{4}{3}\pi R^3. A energia total para N tomates é Q_{\text{tot}}=N Q_1.
Agora aplicamos as fórmulas com os valores numéricos.

Passo 3

Calcular as temperaturas adimensionais medidas e a razão \theta_s/\theta_c para achar \lambda_1.
  • Primeiro as temperaturas adimensionais:
T_i-T_{\infty}=30-7=23\\ ^\circ\mathrm{C}.
\theta_c(t)=\frac{T_c-T_{\infty}}{T_i-T_{\infty}}=\frac{10{,}0-7}{23}=\frac{3}{23}\approx0{,}13043478.
\theta_s(t)=\frac{T_s-T_{\infty}}{T_i-T_{\infty}}=\frac{7{,}1-7}{23}=\frac{0{,}1}{23}\approx0{,}0043478261.
  • Razão:
\frac{\theta_s}{\theta_c}=\frac{0{,}0043478261}{0{,}13043478}=0{,}03333333=\frac{1}{30}.
  • Resolvendo \dfrac{\sin\lambda_1}{\lambda_1}=\dfrac{1}{30} numericamente (buscamos a primeira raiz no intervalo 0<\lambda<\pi, já que o primeiro modo está aí). Fazendo iterações (ou usando uma calculadora), encontra-se
\lambda_1 \approx 3{,}040107.
(Verificação simples: \sin(3{,}040107)/3{,}040107\approx0{,}0333333.)

Passo 4

Determinar \mathrm{Bi} e então h.
  • Usando a relação
\mathrm{Bi}=1-\lambda_1\cot\lambda_1,
calculemos \cot\lambda_1=\dfrac{\cos\lambda_1}{\sin\lambda_1}. Com \lambda_1\approx3{,}040107:
\sin\lambda_1\approx0{,}101311,\qquad \cos\lambda_1\approx-0{,}994855,
\cot\lambda_1\approx\frac{-0{,}994855}{0{,}101311}\approx-9{,}81741,
\lambda_1\cot\lambda_1\approx 3{,}040107\times(-9{,}81741)\approx -29{,}8479,
\mathrm{Bi}=1-(-29{,}8479)=30{,}8479.
  • Agora h:
h=\frac{\mathrm{Bi}\,k}{R}=\frac{30{,}8479\times0{,}59}{0{,}04}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Calcule:
30{,}8479\times0{,}59\approx18{,}2015, \qquad h\approx\frac{18{,}2015}{0{,}04}\approx455{,}04\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando com sentido físico:
\boxed{h\approx4{,}55\times10^{2}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}}.

Passo 5

Determinar a temperatura média adimensional \theta_{\text{avg}} e a energia removida.
  • Primeiro usamos a relação já citada, que liga \theta_{\text{avg}} a \theta_c:
\theta_{\text{avg}}=3\,\theta_c\,\frac{\sin\lambda_1-\lambda_1\cos\lambda_1}{\lambda_1^{2}}.
Calculando os termos numéricos:
\sin\lambda_1-\lambda_1\cos\lambda_1 \approx 0{,}101311 - 3{,}040107\times(-0{,}994855) \approx 3{,}124842.
\lambda_1^{2}\approx(3{,}040107)^{2}\approx9{,}243064.
\frac{\sin\lambda_1-\lambda_1\cos\lambda_1}{\lambda_1^{2}}\approx\frac{3{,}124842}{9{,}243064}\approx0{,}337998.
\theta_{\text{avg}}=3\times0{,}13043478\times0{,}337998\approx0{,}13227.
  • Temperatura média absoluta:
\overline{T}(t)=T_{\infty}+\theta_{\text{avg}}(T_i-T_{\infty}) =7+0{,}13227\times23\approx7+3{,}042\approx10{,}042^{\circ}\mathrm{C}.
  • Diferença entre T_i e \overline{T}:
T_i-\overline{T}\approx30-10{,}042=19{,}958\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de uma esfera:
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi(0{,}04)^{3}\approx2{,}68082\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3},
m=\rho V\approx999\times2{,}68082\times10^{-4}\approx0{,}267814\\ \mathrm{kg}.
  • Capacidade térmica de uma esfera:
m c_p \approx0{,}267814\times3990\\ \mathrm{J/K}\approx1068{,}58\\ \mathrm{J/K}.
  • Energia removida de uma esfera:
Q_1=m c_p (T_i-\overline{T})\approx1068{,}58\times19{,}958\\ \mathrm{J}\approx21327{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Para N=8 tomates:
Q_{\text{tot}}=8\times Q_1\approx8\times21327{,}5\\ \mathrm{J}\approx170620\\ \mathrm{J}\approx1{,}706\times10^{5}\\ \mathrm{J}.

Resposta

h\approx4{,}55\times10^{2}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
Q_{\text{tot}}\approx1{,}706\times10^{5}\\ \mathrm{J}

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