A long cylindrical wood \log \left(k=0,17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}\right. and \left.\alpha=1,28 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right) is 10 cm in diameter and is initially at a uniform temperature of 25^{\circ} \mathrm{C}. It is exposed to hot gases at 525^{\circ} \mathrm{C} in a fireplace with a heat transfer coefficient of 13,6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} on the surface. If the ignition temperature of the wood is 375^{\circ} \mathrm{C}, determine how long it will be before the log ignites. Solve this problem using the analytical one-term approximation method.

Passo 1

O enunciado pede o tempo até que o tronco cilíndrico de madeira atinja a temperatura de ignição 375^\circ\mathrm{C} quando exposto a gases a 525^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Condutividade térmica: k=0,17\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Difusividade térmica: \alpha=1,28\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Diâmetro do tronco: D=0{,}10\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio r_0=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial do tronco: T_i=25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura dos gases (fluido): T_\infty=525^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de ignição: T_{\text{ign}}=375^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção: h=13{,}6\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O enunciado pede explicitamente usar a aproximação analítica de um termo (one-term approximation). Vou assumir que a ignição ocorre na superfície externa do tronco (local exposto diretamente aos gases) e, portanto, calcular o tempo necessário para que a temperatura da superfície atinja T_{\text{ign}}.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  1. Normalização de temperaturas. Para problemas transientes de condução é conveniente trabalhar com a temperatura adimensional
\theta(r,t)=\frac{T(r,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}.
Aqui \theta=1 no início (quando T=T_i) e \theta\to 0 quando T\to T_\infty.
  1. Para um cilindro longo (condução radial somente) com condição de convecção na superfície, a solução por separação de variáveis dá uma série em termos de funções de Bessel:
\theta(r,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n J_0\!\big(\lambda_n r/r_0\big)\,e^{-\lambda_n^2 \alpha t / r_0^2},
onde \lambda_n são os autovalores positivos que satisfazem a condição de contorno convectivo na superfície e J_0,J_1 são funções de Bessel de primeira espécie (ordens 0 e 1).
  1. A condição que determina os autovalores \lambda_n é a equação transcendental
\lambda_n J_1(\lambda_n)=\mathrm{Bi}\,J_0(\lambda_n),
onde \mathrm{Bi} é o número de Biot adimensional definido como
\mathrm{Bi}=\frac{h r_0}{k}.
Explicando: essa equação vem de aplicar a condição de equilíbrio de fluxo na superfície -k(\partial T/\partial r)_{r_0}=h\big(T(r_0,t)-T_\infty\big) e usar as propriedades das funções de Bessel.
  1. Os coeficientes da série, para condição inicial uniforme \theta(r,0)=1, são (resultado da expansão ortogonal):
a_n=\frac{2}{\lambda_n J_1(\lambda_n)}.
Isto é derivável integrando contra as funções de Bessel; não precisa decorar, mas é importante saber que para cilindro essa expressão vale.
  1. Na aproximação de um termo (one-term) mantemos apenas n=1. Para a superfície r=r_0, usando r/r_0=1, obtemos:
\theta(r_0,t)\approx a_1 J_0(\lambda_1)\,e^{-\lambda_1^2\alpha t / r_0^2}.
Denotando
A_1=\frac{2J_0(\lambda_1)}{\lambda_1 J_1(\lambda_1)},
temos
\theta(r_0,t)\approx A_1 e^{-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo}}, \qquad \text{onde}\quad \mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{r_0^2}
é o número de Fourier adimensional.
  1. Para saber o tempo até T(r_0,t)=T_{\text{ign}} basta calcular a \theta correspondente a T_{\text{ign}},
\theta_{\text{ign}}=\frac{T_{\text{ign}}-T_\infty}{T_i-T_\infty},
e resolver
\theta_{\text{ign}} = A_1 e^{-\lambda_1^2 \mathrm{Fo}}
para \mathrm{Fo} e então para t.
Resumo: Procedimento prático:
  • calcular \mathrm{Bi};
  • resolver numericamente \lambda_1 J_1(\lambda_1)=\mathrm{Bi}\,J_0(\lambda_1) para \lambda_1 (primeiro autovalor);
  • calcular A_1;
  • obter \mathrm{Fo}=-\ln(\theta_{\text{ign}}/A_1)/\lambda_1^2;
  • obter t=\mathrm{Fo}\,r_0^2/\alpha.
Vou executar cada passo mostrando os cálculos.

Passo 3

Calcular Biot e \theta_{\text{ign}}.
  • Raio: r_0=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{Bi}=\dfrac{h r_0}{k}=\dfrac{13{,}6\times 0{,}05}{0{,}17}=\dfrac{0{,}68}{0{,}17}=4{,}0.
Comentário: \mathrm{Bi}=4{,}0 é grande (>>0,1), portanto não podemos usar o método de massa lumped. Temos de usar a solução com funções de Bessel (justificando o uso da aproximação de um termo).
  • Temperatura adimensional de ignição:
\theta_{\text{ign}}=\frac{T_{\text{ign}}-T_\infty}{T_i-T_\infty} =\frac{375-525}{25-525}=\frac{-150}{-500}=0{,}3.

Passo 4

Encontrar o primeiro autovalor \lambda_1 resolvendo
f(\lambda)=\lambda J_1(\lambda)-\mathrm{Bi}\,J_0(\lambda)=0, \qquad\text{com }\mathrm{Bi}=4{,}0.
Vou obter \lambda_1 numericamente (método de aproximação/interpolação). Para isso uso valores conhecidos em x=2 e a linearização local (é suficiente para obter precisão adequada para nossa aplicação de engenharia).
Valores conhecidos próximos de x=2 (tabelados):
J_0(2)=0{,}22389078,\qquad J_1(2)=0{,}57672481.
As derivadas podem ser obtidas pelas relações:
\frac{d}{dx}J_0(x)=-J_1(x),\qquad \frac{d}{dx}J_1(x)=J_0(x)-\frac{1}{x}J_1(x).
Em x=2:
J_0'(2)=-J_1(2)=-0{,}57672481,
J_1'(2)=J_0(2)-\frac{1}{2}J_1(2)=0{,}22389078-\tfrac{1}{2}\cdot0{,}57672481=-0{,}0644716.
Agora fazemos uma aproximação linear em torno de x=2 para estimar J_0 e J_1 em valores próximos (passos mostrados para transparência). Buscamos \lambda na vizinhança de 1{,}9\text{–}1{,}95 porque a equação muda de sinal nesse intervalo.
Testes rápidos (valores interpolados linearmente):
  • Para \lambda=1{,}90 (diferença \Delta x=-0{,}10): J_0(1{,}90)\approx 0{,}22389078 + (-0{,}57672481)(-0{,}10)=0{,}2816,
J_1(1{,}90)\approx 0{,}57672481 + (-0{,}0644716)(-0{,}10)=0{,}5832.
Então
f(1{,}90)\approx 1{,}90\cdot0{,}5832 - 4{,}0\cdot0{,}2816 \approx 1{,}1081-1{,}1264=-0{,}0183.
  • Para \lambda=1{,}92 ( \Delta x=-0{,}08): J_0(1{,}92)\approx 0{,}22389078 + (-0{,}57672481)(-0{,}08)=0{,}2691,
J_1(1{,}92)\approx 0{,}57672481 + (-0{,}0644716)(-0{,}08)=0{,}5819.
Então
f(1{,}92)\approx 1{,}92\cdot0{,}5819 - 4{,}0\cdot0{,}2691 \approx 1{,}117 -1{,}076=0{,}041.
Como f(1{,}90)<0 e f(1{,}92)>0, há uma raiz entre esses valores. Fazendo interpolação linear entre os dois valores encontramos a raiz aproximada:
\lambda_1\approx 1{,}9069.
Para essa \lambda_1 (usando a mesma linearização para obter J_0,J_1):
J_0(\lambda_1)\approx 0{,}27760,\qquad J_1(\lambda_1)\approx 0{,}58273.
(Comentário: a solução numérica mais precisa com métodos numéricos diretos daria essencialmente o mesmo \lambda_1\approx1{,}907.)

Passo 5

Calcular o coeficiente A_1 da aproximação de um termo para a superfície.
Usando as fórmulas:
a_1=\frac{2}{\lambda_1 J_1(\lambda_1)}, \qquad A_1=a_1 J_0(\lambda_1)=\frac{2J_0(\lambda_1)}{\lambda_1 J_1(\lambda_1)}.
Substituindo os valores calculados:
\lambda_1\approx 1{,}9069,\qquad J_0(\lambda_1)\approx 0{,}27760,\qquad J_1(\lambda_1)\approx 0{,}58273,
a_1=\frac{2}{1{,}9069\cdot 0{,}58273}\approx\frac{2}{1{,}1108}\approx 1{,}8009,
A_1=a_1 J_0(\lambda_1)\approx 1{,}8009\times 0{,}27760\approx 0{,}4997\\ (\text{adimensional}).
Portanto, a aproximação de um termo para a superfície é
\theta(r_0,t)\approx 0{,}4997\,e^{-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo}}, \qquad \lambda_1^2\approx(1{,}9069)^2\approx 3{,}634.

Passo 6

Resolver para o número de Fourier \mathrm{Fo} exigido para atingir \theta_{\text{ign}}=0{,}3 na superfície:
\theta_{\text{ign}}=A_1 e^{-\lambda_1^2 \mathrm{Fo}} \quad\Rightarrow\quad e^{-\lambda_1^2 \mathrm{Fo}}=\frac{\theta_{\text{ign}}}{A_1}.
Substituindo números:
e^{-3{,}634\,\mathrm{Fo}}=\frac{0{,}3}{0{,}4997}=0{,}6004.
Tomando logaritmo:
-3{,}634\,\mathrm{Fo}=\ln(0{,}6004)=-0{,}5090\quad\Rightarrow\quad \mathrm{Fo}=\frac{0{,}5090}{3{,}634}=0{,}1401.
Agora convertemos \mathrm{Fo} em tempo real:
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{r_0^2}\quad\Rightarrow\quad t=\mathrm{Fo}\,\frac{r_0^2}{\alpha}.
Substituindo:
t=0{,}1401\cdot\frac{(0{,}05)^2}{1{,}28\times10^{-7}} =0{,}1401\cdot\frac{0{,}0025}{1{,}28\times10^{-7}} =0{,}1401\cdot 19531{,}25\\ \mathrm{s} \approx 2734{,}4\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
t\approx \frac{2734{,}4}{60}\approx 45{,}57\\ \text{min}.

Resposta

t \approx 2{,}73\times 10^{3}\\ \mathrm{s} \approx 45{,}6\\ \text{min}

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