A long cylindrical wood
and
is 10 cm in diameter and is initially at a uniform temperature of
. It is exposed to hot gases at
in a fireplace with a heat transfer coefficient of
on the surface. If the ignition temperature of the wood is
, determine how long it will be before the log ignites. Solve this problem using the analytical one-term approximation method.
Passo 1
O enunciado pede o tempo até que o tronco cilíndrico de madeira atinja a temperatura de ignição
quando exposto a gases a
com coeficiente de convecção
. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Condutividade térmica:
. - Difusividade térmica:
. - Diâmetro do tronco:
raio . - Temperatura inicial do tronco:
. - Temperatura dos gases (fluido):
. - Temperatura de ignição:
. - Coeficiente de convecção:
.
O enunciado pede explicitamente usar a aproximação analítica de um termo (one-term approximation). Vou assumir que a ignição ocorre na superfície externa do tronco (local exposto diretamente aos gases) e, portanto, calcular o tempo necessário para que a temperatura da superfície atinja
.
Passo 2
Estratégia e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Normalização de temperaturas. Para problemas transientes de condução é conveniente trabalhar com a temperatura adimensional
Aqui
no início (quando
) e
quando
.
- Para um cilindro longo (condução radial somente) com condição de convecção na superfície, a solução por separação de variáveis dá uma série em termos de funções de Bessel:
onde
são os autovalores positivos que satisfazem a condição de contorno convectivo na superfície e
são funções de Bessel de primeira espécie (ordens 0 e 1).
- A condição que determina os autovalores
é a equação transcendental
onde
é o número de Biot adimensional definido como
Explicando: essa equação vem de aplicar a condição de equilíbrio de fluxo na superfície
e usar as propriedades das funções de Bessel.
- Os coeficientes da série, para condição inicial uniforme
, são (resultado da expansão ortogonal):
Isto é derivável integrando contra as funções de Bessel; não precisa decorar, mas é importante saber que para cilindro essa expressão vale.
- Na aproximação de um termo (one-term) mantemos apenas
. Para a superfície , usando , obtemos:
Denotando
temos
é o número de Fourier adimensional.
- Para saber o tempo até
basta calcular a correspondente a ,
e resolver
para
e então para
.
Resumo: Procedimento prático:
- calcular
; - resolver numericamente
para (primeiro autovalor); - calcular
; - obter
; - obter
.
Vou executar cada passo mostrando os cálculos.
Passo 3
Calcular Biot e
.
- Raio:
. -
Comentário:
é grande (>>0,1), portanto não podemos usar o método de massa lumped. Temos de usar a solução com funções de Bessel (justificando o uso da aproximação de um termo).
- Temperatura adimensional de ignição:
Passo 4
Encontrar o primeiro autovalor
resolvendo
Vou obter
numericamente (método de aproximação/interpolação). Para isso uso valores conhecidos em
e a linearização local (é suficiente para obter precisão adequada para nossa aplicação de engenharia).
Valores conhecidos próximos de
(tabelados):
As derivadas podem ser obtidas pelas relações:
Em
:
Agora fazemos uma aproximação linear em torno de
para estimar
e
em valores próximos (passos mostrados para transparência). Buscamos
na vizinhança de
porque a equação muda de sinal nesse intervalo.
Testes rápidos (valores interpolados linearmente):
- Para
(diferença ):
Então
- Para
( ):
Então
Como
e
, há uma raiz entre esses valores. Fazendo interpolação linear entre os dois valores encontramos a raiz aproximada:
Para essa
(usando a mesma linearização para obter
):
(Comentário: a solução numérica mais precisa com métodos numéricos diretos daria essencialmente o mesmo
.)
Passo 5
Calcular o coeficiente
da aproximação de um termo para a superfície.
Usando as fórmulas:
Substituindo os valores calculados:
Portanto, a aproximação de um termo para a superfície é
Passo 6
Resolver para o número de Fourier
exigido para atingir
na superfície:
Substituindo números:
Tomando logaritmo:
Agora convertemos
em tempo real:
Substituindo:
Convertendo para minutos: