Questão Extra: Obtenha a equação de Laplace a partir das Leis de Maxwell para eletrostática. Escreva a equação de Laplace em coordenadas esféricas e utilize sepração de variáveis para encontra todas as soluções possíveis sem assumir simetria azimutal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar como, a partir das leis de Maxwell em eletrostática, chega-se à equação de Laplace, depois escrever essa equação em coordenadas esféricas e usar separação de variáveis para obter todas as soluções gerais sem assumir simetria azimutal. O conteúdo principal é eletrostática (Gauss e campo conservativo), formulação em termos de potencial escalar e solução de equação de Laplace via separação de variáveis em coordenadas esféricas.
Passo 2
Começamos das leis de Maxwell para eletrostática:
Como o campo é conservativo, existe potencial escalar
tal que
. Substituindo em Gauss:
logo obtemos a equação de Poisson:
Passo 3
Em regiões livres de carga temos
, de onde surge a equação de Laplace:
Passo 4
Em coordenadas esféricas
a laplaciana vale
Então a equação de Laplace fica
onde subscritos indicam derivadas parciais.
Passo 5
Procuramos solução por separação de variáveis usando o ansatz
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por
multiplicado por
, obtemos
Como cada termo depende de variável distinta, cada parte deve ser igual a uma constante.
Passo 6
Separamos primeiro a parte em
:
onde
é inteiro (para periodicidade em
). A equação é
com solução geral
ou mais concisamente
.
Passo 7
Substituindo
na parte em
e igualando a uma constante
, obtemos a equação de Legendre associada:
As soluções regulares são os polinômios associados
com
e
.
Passo 8
Para a parte radial temos
Essa equação tem solução geral
Resposta
A solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas, sem assumir simetria azimutal, é a soma sobre todos os modos
:
ou, de forma mais compacta em termos de harmônicos esféricos
,