Questão Extra: Obtenha a equação de Laplace a partir das Leis de Maxwell para eletrostática. Escreva a equação de Laplace em coordenadas esféricas e utilize sepração de variáveis para encontra todas as soluções possíveis sem assumir simetria azimutal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como, a partir das leis de Maxwell em eletrostática, chega-se à equação de Laplace, depois escrever essa equação em coordenadas esféricas e usar separação de variáveis para obter todas as soluções gerais sem assumir simetria azimutal. O conteúdo principal é eletrostática (Gauss e campo conservativo), formulação em termos de potencial escalar e solução de equação de Laplace via separação de variáveis em coordenadas esféricas.

Passo 2

Começamos das leis de Maxwell para eletrostática:
\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0},
\nabla\times \mathbf{E} = 0.
Como o campo é conservativo, existe potencial escalar \Phi tal que \mathbf{E}=-\nabla\Phi. Substituindo em Gauss:
\nabla\cdot(-\nabla\Phi)= -\nabla^2\Phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0},
logo obtemos a equação de Poisson:
\nabla^2\Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.

Passo 3

Em regiões livres de carga temos \rho=0, de onde surge a equação de Laplace:
\nabla^2\Phi=0.

Passo 4

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) a laplaciana vale
\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^2\frac{\partial\Phi}{\partial r}\Bigr) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\Bigl(\sin\theta\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\Bigr) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2}.
Então a equação de Laplace fica
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^2\Phi_r\Bigr) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\Bigl(\sin\theta\,\Phi_\theta\Bigr) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\,\Phi_{\varphi\varphi} =0,
onde subscritos indicam derivadas parciais.

Passo 5

Procuramos solução por separação de variáveis usando o an­satz
\Phi(r,\theta,\varphi) = R(r)\,\Theta(\theta)\,\Phi_\varphi(\varphi).
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por R\Theta\Phi_\varphi multiplicado por r^2, obtemos
\frac{r}{R}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{dR}{dr}\Bigr) + \frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\Bigl(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\Bigr) + \frac{1}{\Phi_\varphi}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi_\varphi}{d\varphi^2} =0.
Como cada termo depende de variável distinta, cada parte deve ser igual a uma constante.

Passo 6

Separamos primeiro a parte em \varphi:
\frac{1}{\Phi_\varphi}\frac{d^2\Phi_\varphi}{d\varphi^2} = -m^2,
onde m é inteiro (para periodicidade em \varphi). A equação é
\frac{d^2\Phi_\varphi}{d\varphi^2} + m^2\Phi_\varphi = 0,
com solução geral
\Phi_\varphi(\varphi) = A_m\cos(m\varphi) + B_m\sin(m\varphi),
ou mais concisamente \mathrm e^{\pm i m\varphi}.

Passo 7

Substituindo -m^2 na parte em \theta e igualando a uma constante l(l+1), obtemos a equação de Legendre associada:
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\Bigl(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\Bigr) -\frac{m^2}{\sin^2\theta}\,\Theta + l(l+1)\,\Theta = 0.
As soluções regulares são os polinômios associados
\Theta(\theta) = P_l^m(\cos\theta),
com l=0,1,2,\dots e |m|\le l.

Passo 8

Para a parte radial temos
\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{dR}{dr}\Bigr) - l(l+1)R = 0.
Essa equação tem solução geral
R(r) = C_{l}\,r^l + D_{l}\,r^{-\,l-1}.

Resposta

A solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas, sem assumir simetria azimutal, é a soma sobre todos os modos (l,m):
\Phi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \bigl(C_{lm}\,r^l + D_{lm}\,r^{-\,l-1}\bigr)\, P_l^m(\cos\theta)\, \bigl[A_{lm}\cos(m\varphi)+B_{lm}\sin(m\varphi)\bigr],
ou, de forma mais compacta em termos de harmônicos esféricos Y_l^m,
\Phi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \Bigl(a_{lm}\,r^l + b_{lm}\,r^{-l-1}\Bigr)\, Y_l^m(\theta,\varphi).

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