Um cubo de alumínio de 100 kg é colocado em um tanque vazio. (a) Qual é a força normal sobre o cubo? (b) Mercúrio é adicionado ao tanque até que a força normal sobre o cubo de alumínio seja nula. Qual é a altura da camada de mercúrio? (c) O que ocorreria com o cubo se ainda mais mercúrio fosse adicionado ao tanque, isto é, se a altura da camada de mercúrio for maior do que a determinada no item anterior? (d) O mercúrio for retirado do tanque e água é adicionada até que todo o cubo de alumínio esteja submerso. Qual é a força normal sobre o cubo neste caso? Utilize que \rho_{\mathrm{Al}}=2,70 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=1,00 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, e \rho_{\mathrm{Hg}}=13,6 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado apresenta um problema envolvendo um cubo de alumínio submerso em diferentes fluidos, abordando conceitos de equilíbrio de forças, empuxo (Teorema de Arquimedes) e densidade. O objetivo é determinar a força normal atuando no cubo em diferentes situações: (a) sem líquido, (b) com mercúrio até anular a normal, (c) analisar o que ocorre ao ultrapassar essa altura de mercúrio, e (d) com o cubo totalmente submerso em água.

Passo 2

(a) Quando o tanque está vazio, a única força vertical atuando é o peso do cubo ( mg) para baixo, equilibrado pela força normal ( N) para cima. Portanto,
N = mg = 100 \times 9{,}8 = 980\\ \mathrm{N}.

Passo 3

(b) Ao adicionar mercúrio (densidade \rho_{\mathrm{Hg}}=13{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}\ até que N=0, o empuxo ( F_{b}) iguala o peso do cubo:
F_{b} = \rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,V_{\text{sub}} = mg.
O volume submerso do cubo é V_{\text{sub}} = A\,h, onde A é a área de uma face e h a altura de mercúrio. O volume total do cubo é
V = \frac{m}{\rho_{\mathrm{Al}}},
e a área da face é A = V^{2/3} = \bigl(m/\rho_{\mathrm{Al}}\bigr)^{2/3}. Assim,
\rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,(A\,h) = mg \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{m}{\rho_{\mathrm{Hg}}\,(m/\rho_{\mathrm{Al}})^{2/3}}.
Numericamente,
(m/\rho_{\mathrm{Al}})^{1/3}=(100/2700)^{1/3}\approx4{,}64\times10^{-1}\\ \mathrm{m}, \quad (m/\rho_{\mathrm{Al}})^{2/3}\approx(4{,}64\times10^{-1})^{2}\approx0{,}216\\ \mathrm{m^{2}},
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h \approx \frac{100}{13{,}6\times10^{3}\times0{,}216}\approx0{,}067\\ \mathrm{m}
ou seja, aproximadamente 6{,}7\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

(c) Se adicionarmos mais mercúrio, o empuxo F_{b}=\rho_{\mathrm{Hg}}gA\,h excederá o peso do cubo ( mg), resultando em uma força resultante ascendente. Consequentemente, o cubo se desprenderá do fundo e flutuará até que o empuxo se iguale ao peso, com a força normal se tornando nula.

Passo 5

(d) Ao substituir o mercúrio por água ( \rho_{\mathrm{H_{2}O}}=1{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}) até submergir completamente o cubo, o empuxo é
F_{b}^{\mathrm{água}} = \rho_{\mathrm{H_{2}O}}\,g\,V = \rho_{\mathrm{H_{2}O}}\,g\,\frac{m}{\rho_{\mathrm{Al}}} = mg\;\frac{\rho_{\mathrm{H_{2}O}}}{\rho_{\mathrm{Al}}}.á
O equilíbrio vertical é dado por
N + F_{b}^{\mathrm{água}} = mg \quad\Longrightarrow\quad N = mg\Bigl(1 - \frac{\rho_{\mathrm{H_{2}O}}}{\rho_{\mathrm{Al}}}\Bigr).á
Substituindo os valores,
N = 980 \Bigl(1 - \frac{1{,}00\times10^{3}}{2{,}70\times10^{3}}\Bigr) \approx 980\times0{,}6296 \approx 616\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) N = 980\\ \mathrm{N}.
(b) h \approx 0{,}067\\ \mathrm{m} (cerca de 6,7 cm).
(c) O cubo ganha empuxo maior que seu peso, solta-se do fundo e passa a flutuar.
(d) N \approx 616\\ \mathrm{N}.

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