Questão Extra. (2,0 pontos) Determine:
(b) uma transformação linear bijetora T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(1,1,2)=(1,0,0) e T(1,0,1)= (-1,0,0). Caso tal transformação não exista, justifique por quê;

Passo 1

O enunciado pede para decidir se existe uma transformação linear bijetora T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} tal que
T(1,1,2)=(1,0,0)
e
T(1,0,1)=(-1,0,0).
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
v_1=(1,1,2),\qquad v_2=(1,0,1)
são os vetores do domínio cujas imagens são
w_1=(1,0,0),\qquad w_2=(-1,0,0).

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): uma transformação linear T é bijetora se, e somente se, ela é inversível. Todo mapa linear inversível é injetivo. Uma propriedade muito útil é:
Se T é linear e injetiva, então T envia conjuntos linearmente independentes em conjuntos linearmente independentes.
Prova curta e didática dessa propriedade: suponha que v_1,\dots,v_k são linearmente independentes e que existem escalares c_1,\dots,c_k tais que
c_1 T(v_1)+\cdots+c_k T(v_k)=0.
Pela linearidade de T isso é
T(c_1 v_1+\cdots+c_k v_k)=0.
Como T é injetiva, a única preimagem de 0 é 0, logo
c_1 v_1+\cdots+c_k v_k=0.
Pela independência dos v_i segue c_1=\cdots=c_k=0. Portanto os T(v_i) são linearmente independentes. Essa é a razão conceitual: um mapa injetivo não pode “colapsar” vetores independentes em imagens dependentes.

Passo 3

Verificação da independência dos vetores do domínio: vamos mostrar que v_1 e v_2 não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes (em \mathbb{R}^3, dois vetores são independentes se um não é múltiplo escalar do outro).
Suponha, para ver se existe \lambda com v_1=\lambda v_2. Pela primeira coordenada 1=\lambda\cdot 1 \lambda=1. Pela segunda coordenada teríamos 1=\lambda\cdot 0, ou seja 1=0, contradição. Portanto não existe tal \lambda e v_1,v_2 são linearmente independentes.

Passo 4

Verificação da dependência das imagens: observamos que
w_2 = (-1,0,0) = -1\cdot(1,0,0) = -1\cdot w_1.
Logo w_1 e w_2 são linearmente dependentes (estão na mesma reta).

Passo 5

Conclusão lógica: se T fosse bijetora então seria injetora, e por consequência, por passo 2, deveria enviar qualquer par de vetores linearmente independentes em um par linearmente independente. Mas vimos no passo 3 que v_1,v_2 são independentes e no passo 4 que w_1,w_2 são dependentes. Isso é uma contradição com a propriedade da etapa 2. Portanto não existe uma transformação linear bijetora T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 satisfazendo as duas imagens pedidas.

Resposta

Não existe tal transformação linear bijetora.

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