Questão Extra. (2,0 pontos) Determine:
(b) uma transformação linear bijetora
tal que
e
. Caso tal transformação não exista, justifique por quê;
(b) uma transformação linear bijetora
Passo 1
O enunciado pede para decidir se existe uma transformação linear bijetora
tal que
e
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
são os vetores do domínio cujas imagens são
Passo 2
Conceito-chave (explicado passo a passo): uma transformação linear
é bijetora se, e somente se, ela é inversível. Todo mapa linear inversível é injetivo. Uma propriedade muito útil é:
Se
é linear e injetiva, então
envia conjuntos linearmente independentes em conjuntos linearmente independentes.
Prova curta e didática dessa propriedade: suponha que
são linearmente independentes e que existem escalares
tais que
Pela linearidade de
isso é
Como
é injetiva, a única preimagem de
é
, logo
Pela independência dos
segue
. Portanto os
são linearmente independentes. Essa é a razão conceitual: um mapa injetivo não pode “colapsar” vetores independentes em imagens dependentes.
Passo 3
Verificação da independência dos vetores do domínio: vamos mostrar que
e
não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes (em
, dois vetores são independentes se um não é múltiplo escalar do outro).
Suponha, para ver se existe
com
. Pela primeira coordenada
dá
. Pela segunda coordenada teríamos
, ou seja
, contradição. Portanto não existe tal
e
são linearmente independentes.
Passo 4
Verificação da dependência das imagens: observamos que
Logo
e
são linearmente dependentes (estão na mesma reta).
Passo 5
Conclusão lógica: se
fosse bijetora então seria injetora, e por consequência, por passo 2, deveria enviar qualquer par de vetores linearmente independentes em um par linearmente independente. Mas vimos no passo 3 que
são independentes e no passo 4 que
são dependentes. Isso é uma contradição com a propriedade da etapa 2. Portanto não existe uma transformação linear bijetora
satisfazendo as duas imagens pedidas.
Resposta
Não existe tal transformação linear bijetora.