Questão 02. (3,5 pontos) Dadas as transformações lineares F: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tais que F(x, y, z)= (x-y, y-z) e G(x, y)=(x-y, y-x, x+y), encontre
(a) uma base para o núcleo e para a imagem de G \circ F;

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares e pede bases do núcleo e da imagem de G\circ F. Informações dadas:
F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad F(x,y,z)=(x-y,\;y-z),
G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad G(u,v)=(u-v,\;v-u,\;u+v).
O que se pede: encontrar uma base para o núcleo de G\circ F e uma base para a imagem de G\circ F.

Passo 2

Primeiro preciso escrever explicitamente a composição G\circ F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3. Se u=x-y e v=y-z (isto vem de F), então
(G\circ F)(x,y,z)=G(u,v)=\big(u-v,\;v-u,\;u+v\big).
Substituindo u=x-y e v=y-z obtemos cada coordenada em função de x,y,z:
u-v=(x-y)-(y-z)=x-2y+z,
v-u=(y-z)-(x-y)=-x+2y-z,
u+v=(x-y)+(y-z)=x-z.
Portanto
(G\circ F)(x,y,z)=\big(x-2y+z,\; -x+2y-z,\; x-z\big).

Passo 3

É útil escrever G\circ F como multiplicação por uma matriz A. Calculo as colunas aplicando G\circ F nos vetores da base canônica:
(G\circ F)(1,0,0)=(1,-1,1),
(G\circ F)(0,1,0)=(-2,2,0),
(G\circ F)(0,0,1)=(1,-1,-1).
Logo a matriz A (3×3) relativa à base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
de modo que (G\circ F)(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora encontro o núcleo (nullspace) de G\circ F\), ou seja os vetores \((x,y,z)\) tais que \(A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\). Escrevo o sistema linear correspondente: \[\begin{cases} x-2y+z=0,\\[4pt] -x+2y-z=0,\\[4pt] x-z=0. \end{cases}
Observo que a segunda equação é o negativo da primeira, então não traz informação nova; restam efetivamente a primeira e a terceira. Da terceira equação vem
x-z=0\quad\Rightarrow\quad z=x.
Substituo em x-2y+z=0\]: \[x-2y+x=0\quad\Rightarrow\quad 2x-2y=0\quad\Rightarrow\quad x-y=0\quad\Rightarrow\quad y=x.\] Logo \(x=y=z. Assim todos os vetores do núcleo têm a forma t(1,1,1) com t\in\mathbb{R}. Portanto o núcleo é uma reta unidimensional e uma base é
\{(1,1,1)\}.]

Passo 5

Agora a imagem (coluna-espaço) de G\circ F é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é pelos vetores
c_1=(1,-1,1),\quad c_2=(-2,2,0),\quad c_3=(1,-1,-1).
Preciso extrair uma base (vetores linearmente independentes que gerem o espaço). Verifico uma relação simples entre as colunas:
c_1+c_2+c_3=(1-2+1,\;-1+2-1,\;1+0-1)=(0,0,0),
ou seja c_1+c_2+c_3=0. Isso mostra dependência linear entre as três colunas. Como pelo menos duas colunas são independentes (por exemplo c_1 e c_3 não são múltiplos um do outro, pois têm terceira coordenada distinta), a dimensão da imagem é 2. Posso escolher como base os dois vetores independentes c_1 e c_3. Portanto uma base para a imagem é
\{(1,-1,1),\; (1,-1,-1)\}.
(qualquer outro par independente que gere o mesmo espaço seria aceitável.)

Passo 6

Verificação rápida com o teorema da nulidade-rank: \dim(\ker)=1 e \dim(\operatorname{im})=2, e como estamos em \mathbb{R}^3 vale \dim(\ker)+\dim(\operatorname{im})=1+2=3, consistente com \dim(\mathbb{R}^3)=3. Isso confirma que os cálculos estão coerentes.

Resposta

Base do núcleo: \{(1,1,1)\}
Base da imagem: \{(1,-1,1),\;(1,-1,-1)\}

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