Questão 03. (3,5 pontos) Considere o operador linear
tal que
.
(a) Mostre que
é diagonalizável.
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
definido por
A pergunta é: mostrar que
é diagonalizável.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A ação de
sobre um vetor está explicitada (isto é suficiente para escrever a matriz de na base canônica). - Não há outras restrições ou dados; portanto devemos usar a definição de diagonalização para operadores em
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a matriz de
na base canônica
. Se
é a matriz de
, então para
coluna temos
. Observando
obtemos
Passo 3
O que significa “diagonalizável”? Vou explicar devagar: um operador linear (ou sua matriz) é diagonalizável se existir uma base de
formada por autovetores de
. Equivalente: existe matriz invertível
tal que
onde
é diagonal. Portanto o método: calcular autovalores (raízes do polinômio característico), para cada autovalor achar autovetores e verificar que conseguimos dois autovetores linearmente independentes (uma base de
). Se os autovalores forem distintos, já sabemos (teorema) que os autovetores correspondentes são linearmente independentes; mesmo assim vou calcular explicitamente os autovetores para ficar bem claro.
Passo 4
Calculamos o polinômio característico
. Aqui
é a matriz identidade
. Então
Expandindo o determinante:
Faço as contas passo a passo:
(essa expansão vem de multiplicar os termos:
). Somando o termo
obtemos
Passo 5
Agora fatoramos o polinômio:
Portanto os autovalores são
e
, que são distintos. Pelo teorema dos autovalores distintos, para matrizes reais em dimensão
isso já indica que há dois autovetores linearmente independentes e, portanto, que
(ou
) é diagonalizável. Para deixar tudo explícito vou calcular os autovetores.
Passo 6
Autovetores para
. Resolvemos
, ou seja
:
O sistema linear é
as duas linhas são iguais. Da equação obtemos
, isto é
. Podemos escolher
(escolha prática para evitar fração) e então
. Assim um autovetor associado a
é
Verificação rápida (opcional):
, ok.]
Passo 7
Autovetores para
. Resolvemos
:
O sistema reduz-se a
ou seja
e portanto
. Escolhendo
obtemos
, logo um autovetor associado a
é
Verificação rápida:
, ok.]
Passo 8
Agora precisamos checar que
e
são linearmente independentes (então formam uma base de
). Uma forma simples: montar a matriz
com as colunas
e ver que
. Tomando
temos
Como
,
é invertível e as colunas
são linearmente independentes. Logo são uma base formada por autovetores.]
Passo 9
Conclusão e ligação com diagonalização: como existem duas colunas linearmente independentes que são autovetores, existe matriz invertível
(a que usamos acima) tal que
onde
é a matriz diagonal com os autovalores correspondentes nas posições da coluna (por exemplo, escolhendo as colunas na ordem
),
Portanto
(ou
) é diagonalizável. Respirei fundo com você — acabamos mostrando tudo construtivamente: autovalores, autovetores e a base de autovetores.]
Resposta
Autovalores:
Autovetores (uma base de autovetores):
e
.]