Questão 2. { }^{p} Em uma fábrica de chocolates, os tanques de conchagem operam a uma temperatura constante de 60^{\circ} \mathrm{C} e estão posicionados próximos a uma parede que os separa de uma câmara fria mantida a 20^{\circ} \mathrm{C}. A parede possui 15 \mathrm{~m}^{2} de área e é composta por uma camada de concreto com 25 cm de espessura (condutividade térmica \mathrm{k}=1,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ). Para reduzir as perdas térmicas, e melhorar a eficiência energética da planta, será adicionado um isolante térmico de 5 cm de espessura no lado voltado para a câmara fria. Considere que a transferência de calor ocorre apenas por condução térmica.
Quatro materiais isolantes estão disponíveis no almoxarifado da fábrica para avaliação:
Material Condutividade térmica (\mathbf{k}) Custo \left(\mathbf{R} \$ / \mathbf{m}^{2}\right)
Espuma (\mathrm{X}) 0,030 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} \mathrm{R} \ 35,00$ \ \hline \hline Lã Mineral (\mathrm{Y}) 0,045 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} \mathrm{R} \ 26,00$ \ \hline \hline Poliestireno (\mathrm{Z}) \quad \times 0,060 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} \mathrm{R} \ 20,00$ \ \hline Fibra Celulósica (\mathrm{W}) 0,038 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} (\mathrm{R}
) 28,00$
a) Calcule a taxa de calor (\dot{Q}) que atravessaria a parede sem o isolante térmico.
b) Calcule a nova taxa de calor (\dot{Q}) com a adição de cada um dos quatro isolantes.
c) Determine, com base nos resultados, qual material oferece o melhor custo-beneficio, considerando a redução na taxa de calor por real investido.
d) Para o isolante que apresentar o melhor desempenho térmico, calcule a temperatura na interface entre o concreto e o isolante, e entre o isolante e o ar da câmara fria.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule perdas térmicas por condução através de uma parede composta por uma laje de concreto, avalie o efeito de adicionar um isolante de 5\\ \mathrm{cm} no lado frio, compare quatro isolantes por custo-benefício e, finalmente, encontre temperaturas nas interfaces para o isolante que tiver o melhor desempenho térmico. Dados (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} &T_{\text{quente}} = 60^\circ\mathrm{C},\\\ &T_{\text{fria}} = 20^\circ\mathrm{C},\\\ &A = 15\\ \mathrm{m}^2,\\\ &\text{Concreto: } L_c = 0{,}25\\ \mathrm{m},\\ k_c = 1{,}1\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\text{Isolante (com espessura)}\\ L_i = 0{,}05\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Materiais disponíveis:}\\\ &\quad X:\\ k_X = 0{,}030\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ \text{custo }35\\ \mathrm{R\$ / m^2},\\\ &\quad Y:\\ k_Y = 0{,}045\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ \text{custo }26\\ \mathrm{R\$ / m^2},\\\ &\quad Z:\\ k_Z = 0{,}060\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ \text{custo }20\\ \mathrm{R\$ / m^2},\\\ &\quad W:\\ k_W = 0{,}038\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ \text{custo }28\\ \mathrm{R\$ / m^2}. \end{aligned}í
As perguntas específicas são:
a) \dot{Q} sem isolante.
b) \dot{Q} com cada um dos quatro isolantes.
c) Qual material tem melhor custo-benefício medido como redução na taxa de calor por real investido.
d) Para o isolante com melhor desempenho térmico, calcular a temperatura na interface concreto|isolante e na interface isolante|ar da câmara fria.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (muito importante entender): para condução unidimensional estacionária em camadas em série, a resistência térmica de uma camada homogênea de espessura L, condutividade k e área A é
R = \frac{L}{kA},
onde R tem unidade \mathrm{K/W}. Para camadas em série, as resistências se somam:
R_{\text{total}} = R_c + R_i = \frac{L_c}{k_c A} + \frac{L_i}{k_i A}.
A diferença de temperatura total é \Delta T = T_{\text{quente}} - T_{\text{fria}}. A taxa de calor é dada por
\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}.
Aqui:
  • \dot{Q} é a potência térmica em \mathrm{W}.
  • T_{\text{quente}} e T_{\text{fria}} são temperaturas nas faces externas (dados).
  • L_c, k_c são espessura/condutividade do concreto; L_i, k_i do isolante; A área.
Observação prática: quando não há isolante, basta usar a fórmula com só a resistência do concreto:
\dot{Q}_{\text{sem}} = \frac{k_c A (T_{\text{quente}}-T_{\text{fria}})}{L_c},
que é equivalente a \dot{Q} = \Delta T / (L_c/(k_c A)).

Passo 3

Aplicando a fórmula direta para uma única camada (concreto):
\dot{Q}_{\text{sem}} = \frac{k_c A (T_{\text{quente}}-T_{\text{fria}})}{L_c}.
Substituindo números (usei \Delta T = 60^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=40\\ \mathrm{K}):
\dot{Q}_{\text{sem}} = \frac{1{,}1 \cdot 15 \cdot 40}{0{,}25}.
Calcule passo a passo:
\frac{40}{0{,}25} = 160,
1{,}1\cdot 15 = 16{,}5,
16{,}5\cdot 160 = 2640.
Portanto,
\dot{Q}_{\text{sem}} = 2640\\ \mathrm{W}.

Passo 4

É útil calcular a resistência do concreto isoladamente:
R_c = \frac{L_c}{k_c A} = \frac{0{,}25}{1{,}1\cdot 15}.
Fazendo as contas:
1{,}1\cdot 15 = 16{,}5,\quad R_c = \frac{0{,}25}{16{,}5} = \frac{1}{66}\\ \mathrm{K/W}\approx 0{,}0151515\\ \mathrm{K/W}.
A resistência do isolante genérico é
R_i = \frac{L_i}{k_i A} = \frac{0{,}05}{k_i\cdot 15} = \frac{1}{300\,k_i}.
Logo
R_{\text{total}} = R_c + R_i = \frac{1}{66} + \frac{1}{300\,k_i},
e
\dot{Q} = \frac{40}{\dfrac{1}{66}+\dfrac{1}{300\,k_i}}.
Para facilitar cálculos numéricos, essa expressão pode ser escrita como
\dot{Q} = \frac{792000\,k_i}{300\,k_i + 66},
mas a forma com resistências é a que ajuda a compreender as quedas de temperatura.

Passo 5

Vamos calcular resistência do isolante R_i, resistência total e \dot{Q} para cada material. Apresento os passos numéricos e o resultado arredondado a duas casas decimais.
  1. Isolante X (Espuma), k_X=0{,}030\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
R_{i,X}=\frac{1}{300\cdot 0{,}030}=\frac{1}{9}=0{,}111111\\ \mathrm{K/W}.
R_{\text{tot},X}=R_c+R_{i,X}=\frac{1}{66}+0{,}111111\approx 0{,}1262626\\ \mathrm{K/W}.
\dot{Q}_X=\frac{40}{0{,}1262626}\approx 316{,}80\\ \mathrm{W}.
  1. Isolante Y (Lã mineral), k_Y=0{,}045\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
R_{i,Y}=\frac{1}{300\cdot 0{,}045}=\frac{1}{13{,}5}\approx 0{,}0740741\\ \mathrm{K/W},
R_{\text{tot},Y}\approx 0{,}0151515+0{,}0740741=0{,}0892256\\ \mathrm{K/W},
\dot{Q}_Y=\frac{40}{0{,}0892256}\approx 448{,}30\\ \mathrm{W}.
  1. Isolante Z (Poliestireno), k_Z=0{,}060\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
R_{i,Z}=\frac{1}{300\cdot 0{,}060}=\frac{1}{18}\approx 0{,}0555556\\ \mathrm{K/W},
R_{\text{tot},Z}\approx 0{,}0151515+0{,}0555556=0{,}0707071\\ \mathrm{K/W},
\dot{Q}_Z=\frac{40}{0{,}0707071}\approx 565{,}71\\ \mathrm{W}.
  1. Isolante W (Fibra celulósica), k_W=0{,}038\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
R_{i,W}=\frac{1}{300\cdot 0{,}038}\approx 0{,}0877193\\ \mathrm{K/W},
R_{\text{tot},W}\approx 0{,}0151515+0{,}0877193=0{,}1028708\\ \mathrm{K/W},
\dot{Q}_W=\frac{40}{0{,}1028708}\approx 388{,}84\\ \mathrm{W}.
Resumo numérico (arredondado a duas casas decimais):
\dot{Q}_{\text{sem}}=2640\\ \mathrm{W},
\dot{Q}_X\approx 316{,}80\\ \mathrm{W},\quad \dot{Q}_Y\approx 448{,}30\\ \mathrm{W},\quad \dot{Q}_Z\approx 565{,}71\\ \mathrm{W},\quad \dot{Q}_W\approx 388{,}84\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Primeiro calculo a economia em potência (redução de \dot{Q}) relativa ao caso sem isolante:
\Delta\dot{Q}_\text{material} = \dot{Q}_{\text{sem}} - \dot{Q}_{\text{com material}}.
Cálculos:
\Delta\dot{Q}_X = 2640 - 316{,}80 = 2323{,}20\\ \mathrm{W},
\Delta\dot{Q}_Y = 2640 - 448{,}30 = 2191{,}70\\ \mathrm{W},
\Delta\dot{Q}_Z = 2640 - 565{,}71 = 2074{,}29\\ \mathrm{W},
\Delta\dot{Q}_W = 2640 - 388{,}84 = 2251{,}16\\ \mathrm{W}.
Custo total (isolante aplicado em A=15\\ \mathrm{m}^2):
\text{Custo total}_X = 35\cdot 15 = 525\\ \mathrm{R\$},
\text{Custo total}_Y = 26\cdot 15 = 390\\ \mathrm{R\$},
\text{Custo total}_Z = 20\cdot 15 = 300\\ \mathrm{R\$},
\text{Custo total}_W = 28\cdot 15 = 420\\ \mathrm{R\$}.
Agora a métrica pedida: redução na taxa de calor por real investido (em \mathrm{W/R\$}):
\eta = \frac{\Delta\dot{Q}}{\text{Custo total}}.
Valores:
\eta_X = \frac{2323{,}20}{525}\approx 4{,}43\\ \mathrm{W/R\$},
\eta_Y = \frac{2191{,}70}{390}\approx 5{,}62\\ \mathrm{W/R\$},
\eta_Z = \frac{2074{,}29}{300}\approx 6{,}91\\ \mathrm{W/R\$},
\eta_W = \frac{2251{,}16}{420}\approx 5{,}36\\ \mathrm{W/R\$}.
Comparando, o maior valor de \eta é para o material Z (Poliestireno): \eta_Z\approx 6{,}91\\ \mathrm{W/R\$}. Portanto, em termos de redução de \dot{Q} por real investido, o melhor custo-benefício é o material Z (Poliestireno).

Passo 7

Cuidado conceitual: “melhor custo-benefício” (item c) foi o material Z. Já “melhor desempenho térmico” normalmente significa o que fornece a menor taxa de calor (maior isolamento térmico), isto é, menor \dot{Q}. Olhando os valores calculados no Passo 5, o menor \dot{Q} é para o isolante X (Espuma) com \dot{Q}_X\approx 316{,}80\\ \mathrm{W}. Portanto, para o item d usamos o isolante X.
Queremos as temperaturas:
  • T_{\text{concreto|isolante}} (interface entre concreto e isolante),
  • T_{\text{isolante|ar}} (interface entre isolante e ar da câmara fria).
Como no enunciado foi dito “transfere-se calor apenas por condução” e foi dada a temperatura do ar frio T_{\text{fria}}=20^\circ\mathrm{C}, a face externa do isolante está à mesma temperatura do ar frio (não há resistência convectiva adicional no enunciado). Logo:
T_{\text{isolante|ar}} = 20^\circ\mathrm{C}.
A queda de temperatura através do concreto é
\Delta T_{\text{concreto}} = \dot{Q}_X\cdot R_c.
Lembrando R_c = \dfrac{1}{66}\\ \mathrm{K/W} e \dot{Q}_X\approx 316{,}80\\ \mathrm{W}:
\Delta T_{\text{concreto}} = 316{,}80\cdot \frac{1}{66} = \frac{316{,}80}{66}=4{,}8\\ \mathrm{K}.
Portanto, a temperatura na face fria do concreto (que é a mesma que a face quente do isolante) é
T_{\text{concreto|isolante}} = T_{\text{quente}} - \Delta T_{\text{concreto}} = 60^\circ\mathrm{C} - 4{,}8^\circ\mathrm{C} = 55{,}2^\circ\mathrm{C}.
Verificação alternativa (queda no isolante):
R_{i,X}=0{,}111111\\ \mathrm{K/W},\quad \Delta T_{\text{isolante}}=\dot{Q}_X\cdot R_{i,X}=316{,}80\cdot 0{,}111111=35{,}2\\ \mathrm{K},
T_{\text{isolante|ar}} = T_{\text{concreto|isolante}} - \Delta T_{\text{isolante}} = 55{,}2^\circ\mathrm{C} - 35{,}2^\circ\mathrm{C} = 20^\circ\mathrm{C},
o que confirma consistência.

Resposta

(a) \dot{Q}_{\text{sem}} = 2640\\ \mathrm{W}
(b) \dot{Q}_X \approx 316{,}80\\ \mathrm{W}
\dot{Q}_Y \approx 448{,}30\\ \mathrm{W}
\dot{Q}_Z \approx 565{,}71\\ \mathrm{W}
\dot{Q}_W \approx 388{,}84\\ \mathrm{W}
(c) Melhor custo-benefício (redução de \dot{Q} por real investido): Poliestireno (Z), com aproximadamente 6{,}91\\ \mathrm{W/R\$}.
(d) Para o isolante com melhor desempenho térmico (menor \dot{Q}, que é a Espuma X):
T_{\text{concreto|isolante}} \approx 55{,}2^\circ\mathrm{C}
T_{\text{isolante|ar}} = 20^\circ\mathrm{C}
Força aí — você já tem as contas prontas para mandar na prova. Se quiser, eu monto um resumo curto com só as fórmulas e valores para você colar nas folhas de consulta.

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