Questão 3. C Você é o engenheiro responsável pelo transporte de água para a entrada de um trocador de calor. Água na fase líquida escoa no interior de um tubo de aço, \mathrm{k}_{1}= 50 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), que tem diâmetro externo igual a 40 mm e interno igual a 30 mm. O tubo é revestido com uma camada de 25 mm de espessura de um material isolante (poliuretano), cuja condutibilidade térmica é \mathrm{k}_{2}=0,1 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}). A temperatura da face interna do tubo é de 120^{\circ} \mathrm{C}, e o tubo está submetido a trocas de calor com o ambiente ( 25^{\circ} \mathrm{C} ) através da superficie externa do isolante, com coeficiente de convectivo de 12 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). Até então, você não recebeu informações acerca do comprimento da tubulação (3,5);
a) Represente o sistema na forma de resistências térmicas;
b) Determine a taxa de transferência de calor através do isolante térmico por metro de tubo e o fluxo de calor que atravessa a superficie externa do isolante;
c) Determine a temperatura de contato entre a superficie do isolante e o ambiente externo.
d) Posteriormente você foi informado que tubulação tem aproximadamente 3 metros de comprimento, qual a taxa e fluxo reais de transferência de calor para este sistema?

Passo 1

O enunciado dá um tubo de aço com paredes internas e externas e uma camada de isolante sobre o tubo. Ele pergunta quatro coisas separadas:
  • (a) Representar o sistema na forma de resistências térmicas.
  • (b) Determinar a taxa de transferência de calor através do isolante térmico por metro de tubo e o fluxo de calor que atravessa a superfície externa do isolante.
  • (c) Determinar a temperatura de contato entre a superfície do isolante e o ambiente externo (ou seja, a temperatura da superfície externa do isolante).
  • (d) Sabendo depois que o comprimento da tubulação é de aproximadamente 3 m, calcular a taxa e o fluxo reais de transferência de calor.
Informações relevantes dadas no enunciado (vou listar e traduzir para notação):
  • condutividade térmica do aço (camada 1): k_1=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • diâmetro interno do tubo: D_i=30\\ \mathrm{mm}=0{,}030\\ \mathrm{m} → raio interno r_1=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro externo do tubo (antes do isolante): D_o=40\\ \mathrm{mm}=0{,}040\\ \mathrm{m} → raio externo do aço r_2=0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • espessura do isolante: 25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}, então raio externo do conjunto isolante r_3 = r_2 + 0{,}025 = 0{,}045\\ \mathrm{m}.
  • condutividade térmica do isolante (poliuretano): k_2=0{,}1\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • temperatura da face interna do tubo (superfície interna do aço): T_{i}=120^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
  • coeficiente convectivo no exterior: h=12\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • inicialmente não se sabe o comprimento, então pedem resultados por metro (ou seja, L=1\\ \mathrm{m}). Depois (d) usar L\approx 3\\ \mathrm{m}.
Pronto — agora que sabemos o que é pedido e todas as quantidades, começamos a resolver.

Passo 2

Modelagem em resistências térmicas (resumo físico e fórmula para cilindros): o calor flui radialmente do interior para o exterior passando por três “resistências” em série:
  • resistência por condução no tubo de aço entre raios r_1 e r_2,
  • resistência por condução no isolante entre raios r_2 e r_3,
  • resistência por convecção da superfície externa do isolante para o ar.
As fórmulas (por metro de comprimento, L=1\\ \mathrm{m}) são:
R_{\text{cond, aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k_1 L}, \qquad R_{\text{cond, isol}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_2 L}, \qquad R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi r_3 L}.ç
A representação pedida em (a) é simplesmente estas três resistências em série:
R_{\text{total}} = R_{\text{cond, aço}} + R_{\text{cond, isol}} + R_{\text{conv}}.ç
Isto responde conceitualmente (a). Nas próximas etapas calculo cada resistência numericamente e uso para encontrar as outras quantidades.

Passo 3

Calcular cada resistência numericamente por metro ( L=1\\ \mathrm{m}). Vou mostrar passo a passo as contas (cada número em TeX).
Primeiro dados já convertidos:
r_1=0{,}015\\ \mathrm{m},\quad r_2=0{,}020\\ \mathrm{m},\quad r_3=0{,}045\\ \mathrm{m}.
Resistência do aço:
R_{\text{cond, aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}020}{0{,}015}\right)}{2\pi(50)(1)}.ç
Calcule o numerador:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}020}{0{,}015}\right)=\ln(1{,}333\ldots)=0{,}287682\ldots
Denominador:
2\pi\cdot 50 \approx 314{,}159.
Logo
R_{\text{cond, aço}}\approx \frac{0{,}287682}{314{,}159}\approx 0{,}000915\\ \mathrm{K/W}\\ \text{(por m)}.ç
Resistência do isolante:
R_{\text{cond, isol}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}045}{0{,}020}\right)}{2\pi(0{,}1)(1)}.
Numerador:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}045}{0{,}020}\right)=\ln(2{,}25)=0{,}810930\ldots
Denominador:
2\pi\cdot 0{,}1 \approx 0{,}628319.
Logo
R_{\text{cond, isol}}\approx \frac{0{,}810930}{0{,}628319}\approx 1{,}291\\ \mathrm{K/W}\\ \text{(por m)}.
Resistência por convecção (superfície externa do isolante, raio r_3):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{12\cdot 2\pi\cdot 0{,}045\cdot 1}.
Calcule:
2\pi\cdot 0{,}045 \approx 0{,}2827433,\quad 12\cdot 0{,}2827433\approx 3{,}39292,
logo
R_{\text{conv}}\approx \frac{1}{3{,}39292}\approx 0{,}2948\\ \mathrm{K/W}\\ \text{(por m)}.
Observação importante (didática): repare que a resistência do aço é desprezivelmente pequena comparada com a do isolante; isso ocorre porque o aço tem condutividade grande ( k_1 alto) e a espessura do aço é fina. Em problemas de isolamento muitas vezes a resistência do metal é pequena e o isolamento domina.

Passo 4

Somar as resistências para obter a resistência térmica total por metro:
R_{\text{total}} = R_{\text{cond, aço}} + R_{\text{cond, isol}} + R_{\text{conv}}ç
Numérico:
R_{\text{total}}\approx 0{,}000915 + 1{,}291 + 0{,}2948 \approx 1{,}5867\\ \mathrm{K/W}\\ \text{(por m)}.
Agora aplicar a lei tipo-Ohm térmica: a taxa de calor por metro é
\dot{Q}'=\frac{T_i - T_\infty}{R_{\text{total}}}.
Substituindo:
\dot{Q}'=\frac{120^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}}{1{,}5867\\ \mathrm{K/W}}=\frac{95}{1{,}5867}\\ \mathrm{W/m}.
Portanto
\dot{Q}'\approx 59{,}9\\ \mathrm{W/m}.
Explicação didática: o número que obtivemos é a potência térmica que sai do tubo por cada metro de comprimento (W por metro). Em provas costuma-se calcular esta resistência total e dividir a diferença de temperaturas por ela — é o procedimento padrão.

Passo 5

Determinar o fluxo de calor que atravessa a superfície externa do isolante (densidade de fluxo na superfície externa), isto é, potência por área da superfície externa:
q''=\frac{\dot{Q}'}{A_{\text{ext}}}=\frac{\dot{Q}'}{2\pi r_3 L}.
Com L=1\\ \mathrm{m}:
A_{\text{ext}}=2\pi(0{,}045)(1)\approx 0{,}2827433\\ \mathrm{m^2}.
Logo
q''\approx \frac{59{,}9}{0{,}2827433}\approx 212{,}0\\ \mathrm{W/m^2}.
Didática: esse é o valor que a convecção exterior precisa remover por área para manter o balanço. Note que o valor é relativamente baixo — o isolante está fazendo bem o serviço de reduzir perdas.

Passo 6

Determinar a temperatura da superfície externa do isolante ( T_s). A queda de temperatura através da resistência convectiva é:
T_s - T_\infty = \dot{Q}' \, R_{\text{conv}}.
Então
T_s = T_\infty + \dot{Q}' R_{\text{conv}}.
Numérico:
T_s \approx 25^\circ\mathrm{C} + (59{,}9\\ \mathrm{W/m})(0{,}2948\\ \mathrm{K/W}) \approx 25 + 17{,}66 \approx 42{,}7^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a superfície externa do isolante estará perto de 43^\circ\mathrm{C}, muito abaixo dos 120^\circ\mathrm{C} internos — é esse isolamento que reduz as perdas.

Passo 7

Agora a parte (d): comprimento real L\approx 3\\ \mathrm{m}. A resistência total calculada antes era por metro; como as fórmulas de resistência em cilindros têm L no denominador, ao multiplicar por L a resistência total para o comprimento L torna-se R_{\text{total, L}} = R_{\text{total}} / 1\cdot(1/L) — mais simples: a \dot{Q} total escala com L. Para resistências definidas como fizemos por metro, a taxa total de calor é:
\dot{Q}_{\text{total}} = \dot{Q}' \cdot L.
Com L=3\\ \mathrm{m}:
\dot{Q}_{\text{total}} \approx 59{,}9\\ \mathrm{W/m}\times 3\\ \mathrm{m} \approx 179{,}7\\ \mathrm{W}.
O fluxo por unidade de área na superfície externa não muda com o comprimento (é uma propriedade por unidade de área), portanto permanece:
q'' \approx 212{,}0\\ \mathrm{W/m^2}.
Observação de prova: se pedirem a resistência total do conjunto para L=3\\ \mathrm{m}, você pode calcular cada resistência com L=3 nas fórmulas iniciais; o resultado dará R_{\text{total,3m}} = R_{\text{total}}/3 e \dot{Q}_{\text{total}}=(T_i-T_\infty)/R_{\text{total,3m}} = \dot{Q}'\cdot 3, que é o que fizemos mais direto.

Resposta

(a) Representação em resistências em série:
R_{\text{cond, aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k_1 L},\quad R_{\text{cond, isol}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_2 L},\quad R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi r_3 L},ç
com r_1=0{,}015\\ \mathrm{m},\\ r_2=0{,}020\\ \mathrm{m},\\ r_3=0{,}045\\ \mathrm{m}.
(b) Taxa de transferência de calor por metro:
\dot{Q}'\approx 59{,}9\\ \mathrm{W/m}.
Fluxo de calor pela superfície externa do isolante:
q''\approx 212{,}0\\ \mathrm{W/m^2}.
(c) Temperatura da superfície externa do isolante:
T_s\approx 42{,}7^\circ\mathrm{C}.
(d) Para L\approx 3\\ \mathrm{m}:
\dot{Q}_{\text{total}}\approx 179{,}7\\ \mathrm{W},
e o fluxo superficial mantém-se
q''\approx 212{,}0\\ \mathrm{W/m^2}.

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