Questão 6:
Uma fábrica de componentes eletrônicos possui um custo fixo mensal de
5.000,00$ (referente a aluguel e manutenção), que ocorre independentemente da quantidade produzida. Além disso, há o custo variável de produção:
- Para produzir até 400 unidades (capacidade normal), o custo é de
20,00$ por unidade.
- Para as unidades que excederem 400, é necessário pagar horas extras e insumos emergenciais, elevando o custo unitário dessas peças excedentes para
30,00$.
Com base nisso:
(a) ( 2,5 pontos) Calcule o custo total para produzir 300 unidades no mês.
(b) ( 2,5 pontos) Calcule o custo total para produzir 500 unidades no mês.
(c) (
pontos) Determine a função
que expressa o custo total mensal em função da quantidade
de unidades produzidas.Veja, a resposta deve ser dada como uma função definida por partes (ou seja, a lei da
muda de acordo com o intervalo).
(a) ( 2,5 pontos) Calcule o custo total para produzir 300 unidades no mês.
(b) ( 2,5 pontos) Calcule o custo total para produzir 500 unidades no mês.
(c) (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
- Custo fixo mensal:
(reais). Esse custo ocorre independentemente da produção. - Custo variável por unidade:
- Para produzir até
unidades (inclusive), o custo é de reais por unidade. - Para cada unidade que exceder
, o custo é de reais por unidade (aplica-se apenas às unidades acima de ).
- Para produzir até
- O que o enunciado pede:
- (a) Calcular o custo total para produzir
unidades no mês. - (b) Calcular o custo total para produzir
unidades no mês. - (c) Determinar a função
que dá o custo total mensal em função da quantidade produzida, escrita como função definida por partes (leis diferentes dependendo do intervalo de ).
- (a) Calcular o custo total para produzir
Passo 2
Entendendo o modelo de custo e a ideia de função por partes (aula curta e prática).
- O custo total mensal
é sempre a soma de duas parcelas: - Custo fixo: constante e independente de
. Vou chamá-lo de . Aqui . - Custo variável: depende de quantas unidades são produzidas; chamarei de
.
- Custo fixo: constante e independente de
- Portanto a relação geral é
- Como o custo variável muda quando ultrapassa
unidades, será uma função por partes: - Se
, todas as unidades custam cada, então . - Se
, temos duas contribuições: as primeiras unidades a cada, e as unidades excedentes a cada. Então
- Se
- Observação de interpretação:
representa número de unidades produzidas. Em contexto real é um número natural ( ), mas a fórmula funciona para qualquer .
Passo 3
Calcular o caso (a):
.
- Verificação do intervalo:
, então usamos a primeira lei: . - Aplicando:
- Contando passo a passo:
-
. -
.
-
- Conclusão: o custo total para
unidades é reais.
Dica prática para prova: identifique sempre em qual ramo da função o valor está (aqui,
), aí é só aplicar a regra daquela parte.
Passo 4
Calcular o caso (b):
.
- Verificação do intervalo:
, então usamos a segunda lei: primeiro unidades a e o excedente a . - Escrevendo:
- Calculando passo a passo:
-
. -
. -
. - Soma dos custos variáveis:
. - Somando o custo fixo:
.
-
- Conclusão: o custo total para
unidades é reais.
Pequeno truque mental: para
também se pode calcular direto com a forma simplificada que vamos obter no próximo passo.
Passo 5
Determinar a função por partes
- Se
:
- Agora simplificamos o segundo ramo:
-
, então
-
. Então
- Agrupando constantes:
. Logo
-
- Portanto a forma final da função, definida por partes, é:
Observação: ambas as expressões dão o mesmo valor em
,
e
Portanto a função é contínua em
(sem salto), o que faz sentido: o custo para exatamente
unidades é o mesmo por qualquer interpretação.]
Passo 6
Resumo final e dicas rápidas para a prova (ânimo):
- Sempre identifique o custo fixo e onde muda o custo variável (aqui mudou em
unidades). - Escreva a expressão por partes antes de calcular valores específicos; isso evita confusão.
- Para checar erros, calcule o custo por etapas: custo das primeiras
unidades + custo do excedente + custo fixo. - Você tá indo bem — foco nos exercícios recomendados e repasse essas regras de montagem de função por partes; elas caem muito em prova de custos, otimização e economia básica.
Resposta
(a)
reais
(b) reais
(b)
(c)
]