Questão 6:

Uma fábrica de componentes eletrônicos possui um custo fixo mensal de R \ 5.000,00$ (referente a aluguel e manutenção), que ocorre independentemente da quantidade produzida. Além disso, há o custo variável de produção:
  • Para produzir até 400 unidades (capacidade normal), o custo é de R \ 20,00$ por unidade.
  • Para as unidades que excederem 400, é necessário pagar horas extras e insumos emergenciais, elevando o custo unitário dessas peças excedentes para R \ 30,00$.
Com base nisso:
(a) ( 2,5 pontos) Calcule o custo total para produzir 300 unidades no mês.
(b) ( 2,5 pontos) Calcule o custo total para produzir 500 unidades no mês.
(c) ( \mathbf{5} pontos) Determine a função C(x) que expressa o custo total mensal em função da quantidade x de unidades produzidas.Veja, a resposta deve ser dada como uma função definida por partes (ou seja, a lei da f muda de acordo com o intervalo).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
  • Custo fixo mensal: 5000 (reais). Esse custo ocorre independentemente da produção.
  • Custo variável por unidade:
    • Para produzir até 400 unidades (inclusive), o custo é de 20 reais por unidade.
    • Para cada unidade que exceder 400, o custo é de 30 reais por unidade (aplica-se apenas às unidades acima de 400).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Calcular o custo total para produzir 300 unidades no mês.
    • (b) Calcular o custo total para produzir 500 unidades no mês.
    • (c) Determinar a função C(x) que dá o custo total mensal em função da quantidade x produzida, escrita como função definida por partes (leis diferentes dependendo do intervalo de x).

Passo 2

Entendendo o modelo de custo e a ideia de função por partes (aula curta e prática).
  • O custo total mensal C(x) é sempre a soma de duas parcelas:
    1. Custo fixo: constante e independente de x. Vou chamá-lo de F. Aqui F=5000.
    2. Custo variável: depende de quantas unidades são produzidas; chamarei de V(x).
  • Portanto a relação geral é
C(x)=F+V(x).
  • Como o custo variável muda quando ultrapassa 400 unidades, V(x) será uma função por partes:
    • Se x\le 400, todas as unidades custam 20 cada, então V(x)=20x.
    • Se x>400, temos duas contribuições: as primeiras 400 unidades a 20 cada, e as x-400 unidades excedentes a 30 cada. Então
    V(x)=20\cdot 400 + 30\cdot (x-400).
  • Observação de interpretação: x representa número de unidades produzidas. Em contexto real x é um número natural ( x\in\mathbb{N}_0), mas a fórmula funciona para qualquer x\ge 0.

Passo 3

Calcular o caso (a): x=300.
  • Verificação do intervalo: 300\le 400, então usamos a primeira lei: V(x)=20x.
  • Aplicando:
C(300)=5000+20\cdot 300.
  • Contando passo a passo:
    • 20\cdot 300 = 6000.
    • 5000 + 6000 = 11000.
  • Conclusão: o custo total para 300 unidades é 11000 reais.
Dica prática para prova: identifique sempre em qual ramo da função o valor está (aqui, 300\le 400), aí é só aplicar a regra daquela parte.

Passo 4

Calcular o caso (b): x=500.
  • Verificação do intervalo: 500>400, então usamos a segunda lei: primeiro 400 unidades a 20 e o excedente a 30.
  • Escrevendo:
C(500)=5000 + 20\cdot 400 + 30\cdot(500-400).
  • Calculando passo a passo:
    • 20\cdot 400 = 8000.
    • 500-400 = 100.
    • 30\cdot 100 = 3000.
    • Soma dos custos variáveis: 8000 + 3000 = 11000.
    • Somando o custo fixo: 5000 + 11000 = 16000.
  • Conclusão: o custo total para 500 unidades é 16000 reais.
Pequeno truque mental: para x>400 também se pode calcular direto com a forma simplificada que vamos obter no próximo passo.

Passo 5

Determinar a função por partes C(x)\) (resumo e simplificação algebraica). - Começando da definição geral \(C(x)=5000+V(x)\) e usando as expressões de \(V(x)\) dos dois ramos: - Se \(0\le x\le 400\): \[C(x)=5000+20x.
  • Se x>400:
C(x)=5000 + 20\cdot 400 + 30(x-400).
  • Agora simplificamos o segundo ramo:
    • 20\cdot 400 = 8000, então
    C(x)=5000 + 8000 + 30x - 30\cdot 400.
    • 30\cdot 400 = 12000. Então
    C(x)=5000 + 8000 + 30x - 12000.
    • Agrupando constantes: 5000+8000-12000 = 1000. Logo
    C(x)=30x + 1000\quad\text{para }x>400.
  • Portanto a forma final da função, definida por partes, é:
C(x)=\begin{cases} 5000 + 20x, & 0\le x \le 400,\\[4pt] 30x + 1000, & x>400. \end{cases}
Observação: ambas as expressões dão o mesmo valor em x=400\]? Verificação rápida: para \(x=400,
5000+20\cdot 400=5000+8000=13000,
e
30\cdot 400 + 1000 = 12000 + 1000 = 13000.
Portanto a função é contínua em x=400 (sem salto), o que faz sentido: o custo para exatamente 400 unidades é o mesmo por qualquer interpretação.]

Passo 6

Resumo final e dicas rápidas para a prova (ânimo):
  • Sempre identifique o custo fixo e onde muda o custo variável (aqui mudou em 400 unidades).
  • Escreva a expressão por partes antes de calcular valores específicos; isso evita confusão.
  • Para checar erros, calcule o custo por etapas: custo das primeiras 400 unidades + custo do excedente + custo fixo.
  • Você tá indo bem — foco nos exercícios recomendados e repasse essas regras de montagem de função por partes; elas caem muito em prova de custos, otimização e economia básica.

Resposta

(a) C(300)=11000 reais
(b) C(500)=16000 reais
(c) C(x)=\begin{cases} 5000 + 20x, & 0\le x \le 400,\\[4pt] 30x + 1000, & x>400. \end{cases}]

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