Questão 5:

Considere a função
f(x)=\frac{x^{3}-4 x^{2}-11 x+30}{2 x^{2}-14 x+20} .
  1. (2 pontos) Determine o domínio da função.
  2. (5 pontos) Fatore a função racional o máximo possível (ou seja, até chegar em um polinômio).
  3. (3 pontos) Esboce o gráfico da f, determinando os pontos em que o gráfico corta os eixos cartesianos.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{x^{3}-4x^{2}-11x+30}{2x^{2}-14x+20}.
As perguntas são:
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Fatorar a função racional o máximo possível (até chegar a um polinômio).
  3. Esboçar o gráfico de f, determinando os pontos em que o gráfico corta os eixos cartesianos.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é o polinômio x^{3}-4x^{2}-11x+30.
  • O denominador é o polinômio 2x^{2}-14x+20.
  • Como é uma função racional, o domínio são os números reais exceto onde o denominador é zero.

Passo 2

Determinar onde o denominador é zero (esses pontos não pertencem ao domínio). Primeiro fatoro o denominador:
2x^{2}-14x+20 = 2\bigl(x^{2}-7x+10\bigr).
Agora fatoro o quadrático \,x^{2}-7x+10. Procuro dois números cuja soma é -7 e produto é 10: são -5 e -2. Logo
x^{2}-7x+10=(x-5)(x-2).
Assim
2x^{2}-14x+20=2(x-5)(x-2).
Portanto o denominador anula-se em x=5 e x=2. Conclusão sobre o domínio: todos os reais exceto esses valores (ainda vou escrever de forma final na resposta).
Explicação didática curta: uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} só não está definida quando Q(x)=0. Por isso resolvemos Q(x)=0 e excluímos essas abscissas do domínio.

Passo 3

Fatorar o numerador passo a passo. Vou procurar raízes inteiras usando candidatos que dividem o termo independente 30: \pm1,\pm2,\pm3,\pm5,\pm6,\pm10,\pm15,\pm30. Testo x=2:
2^{3}-4\cdot2^{2}-11\cdot2+30 = 8-16-22+30=0,
logo x=2 é raiz. Faço divisão sintética (ou divisão de polinômios) do polinômio x^{3}-4x^{2}-11x+30 por (x-2).
Divisão sintética rápida (coeficientes 1,-4,-11,30, raiz 2):
  • Baixo 1.
  • Multiplico 1\cdot2=2; somo com -4 obtenho -2.
  • Multiplico -2\cdot2=-4; somo com -11 obtenho -15.
  • Multiplico -15\cdot2=-30; somo com 30 obtenho 0.
Logo o quociente é x^{2}-2x-15. Agora fatoro esse quadrático:
x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3),
pois -5+3=-2 e (-5)\cdot3=-15. Portanto o numerador fatorado é
x^{3}-4x^{2}-11x+30=(x-2)(x-5)(x+3).

Passo 4

Escrever a função com as fatorações encontradas e simplificar:
f(x)=\frac{(x-2)(x-5)(x+3)}{2(x-5)(x-2)}.
Como (x-2) e (x-5) aparecem tanto no numerador quanto no denominador, podemos cancelar esses fatores desde que lembremos que x\neq2 e x\neq5 (essas abscissas foram excluídas do domínio). Após cancelamento obtemos a expressão polinomial:
f(x)=\frac{x+3}{2}\qquad\text{para }x\neq2,5.
Explicação conceitual: o cancelamento indica que as singularidades em x=2 e x=5 são removíveis — o gráfico é a reta y=\dfrac{x+3}{2} com “buracos” (pontos não preenchidos) em x=2 e x=5.
Para localizar os buracos, calculo os valores que a reta teria nesses x:
  • Em x=2, a reta dá y=\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{5}{2}. Assim existe um buraco em \bigl(2,\tfrac{5}{2}\bigr).
  • Em x=5, a reta dá y=\dfrac{5+3}{2}=4. Assim existe um buraco em (5,4).

Passo 5

Determinar os pontos de interseção com os eixos (usar a forma simplificada \dfrac{x+3}{2}, lembrando dos buracos e do domínio).
  • Interseção com o eixo x (zerar y): resolvo
\frac{x+3}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-3.
Verifico que x=-3 está no domínio (não é 2 nem 5), logo o ponto de corte com o eixo x é (-3,0).
  • Interseção com o eixo y (colocar x=0): calculo
f(0)=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}.
Logo o ponto de corte com o eixo y é \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr). Novamente x=0 pertence ao domínio.
Resumo para esboçar o gráfico:
  • Traçar a reta y=\dfrac{x+3}{2} (inclinação 1/2, intercepto em y=\tfrac{3}{2}).
  • Marcar e deixar abertos (buracos) os pontos \bigl(2,\tfrac{5}{2}\bigr) e (5,4) porque a função não está definida nesses x.
  • Marcar pontos de corte com eixos: (-3,0) e \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr).

Resposta

\text{Domínio} = \mathbb{R}\setminus\{2,5\} = (-\infty,2)\cup(2,5)\cup(5,\infty)í
\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)(x-5)(x+3)}{2(x-5)(x-2)}=\frac{x+3}{2} para x\neq2,5 (portanto a fatoração reduz a \dfrac{x+3}{2} com buracos em x=2 e x=5)
Cortes com os eixos: eixo x em (-3,0); eixo y em \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr).

Exercícios relacionados