Questão 5:
Considere a função
- (2 pontos) Determine o domínio da função.
- (5 pontos) Fatore a função racional o máximo possível (ou seja, até chegar em um polinômio).
- (3 pontos) Esboce o gráfico da
, determinando os pontos em que o gráfico corta os eixos cartesianos.
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
As perguntas são:
- Determinar o domínio de
. - Fatorar a função racional o máximo possível (até chegar a um polinômio).
- Esboçar o gráfico de
, determinando os pontos em que o gráfico corta os eixos cartesianos.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Como é uma função racional, o domínio são os números reais exceto onde o denominador é zero.
Passo 2
Determinar onde o denominador é zero (esses pontos não pertencem ao domínio). Primeiro fatoro o denominador:
Agora fatoro o quadrático
. Procuro dois números cuja soma é
e produto é
: são
e
. Logo
Assim
Portanto o denominador anula-se em
e
. Conclusão sobre o domínio: todos os reais exceto esses valores (ainda vou escrever de forma final na resposta).
Explicação didática curta: uma função racional
só não está definida quando
. Por isso resolvemos
e excluímos essas abscissas do domínio.
Passo 3
Fatorar o numerador passo a passo. Vou procurar raízes inteiras usando candidatos que dividem o termo independente
:
. Testo
:
logo
é raiz. Faço divisão sintética (ou divisão de polinômios) do polinômio
por
.
Divisão sintética rápida (coeficientes
, raiz
):
- Baixo
. - Multiplico
; somo com obtenho . - Multiplico
; somo com obtenho . - Multiplico
; somo com obtenho .
Logo o quociente é
. Agora fatoro esse quadrático:
pois
e
. Portanto o numerador fatorado é
Passo 4
Escrever a função com as fatorações encontradas e simplificar:
Como
e
aparecem tanto no numerador quanto no denominador, podemos cancelar esses fatores desde que lembremos que
e
(essas abscissas foram excluídas do domínio). Após cancelamento obtemos a expressão polinomial:
Explicação conceitual: o cancelamento indica que as singularidades em
e
são removíveis — o gráfico é a reta
com “buracos” (pontos não preenchidos) em
e
.
Para localizar os buracos, calculo os valores que a reta teria nesses
:
- Em
, a reta dá . Assim existe um buraco em . - Em
, a reta dá . Assim existe um buraco em .
Passo 5
Determinar os pontos de interseção com os eixos (usar a forma simplificada
, lembrando dos buracos e do domínio).
- Interseção com o eixo
(zerar ): resolvo
Verifico que
está no domínio (não é
nem
), logo o ponto de corte com o eixo
é
.
- Interseção com o eixo
(colocar ): calculo
Logo o ponto de corte com o eixo
é
. Novamente
pertence ao domínio.
Resumo para esboçar o gráfico:
- Traçar a reta
(inclinação , intercepto em ). - Marcar e deixar abertos (buracos) os pontos
e porque a função não está definida nesses . - Marcar pontos de corte com eixos:
e .
Resposta
Cortes com os eixos: eixo