Questão 4: (5 pontos)
Esboce o gráfico da função:
f(x)=2 x^{2}+4 x-6 .
Para isso, determine os pontos onde o gráfico da f corta os eixos cartesianos.
Observe que esta função aparece no exercício anterior. 😉

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^{2}+4x-6
e pede que eu esboce o gráfico dela. Para isso é solicitado, explicitamente, que eu determine os pontos onde o gráfico corta os eixos cartesianos. Dados relevantes fornecidos:
  • A expressão de f(x) é \;2x^{2}+4x-6.
  • O que preciso encontrar: os pontos de interseção com o eixo x (raízes ou zeros da função) e com o eixo y (valor de f em x=0).
    Observação: vou também encontrar o vértice, o eixo de simetria e alguns pontos auxiliares para poder esboçar o gráfico com segurança.

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular (fórmulas que vou usar).
  • Interseção com o eixo y: é simplesmente f(0). Vou explicar: o eixo y tem x=0, então o ponto é (0,f(0)).
  • Interseção com o eixo x: são os x tais que f(x)=0. Para resolver f(x)=0 usarei a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara), que dá as raízes de uma equação do tipo ax^{2}+bx+c=0:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta (o discriminante) é
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicando as letras: em ax^{2}+bx+c, a é o coeficiente de x^{2}, b é o coeficiente de x e c é o termo constante.
  • Vértice e eixo de simetria: para uma função quadrática ax^{2}+bx+c, a abscissa do vértice é
x_{v}=-\frac{b}{2a},
e a ordenada do vértice é y_{v}=f(x_{v}). O eixo de simetria é a reta vertical x=x_{v}.
  • Sinal de a determina sentido da concavidade: se a>0 a parábola abre para cima (tem mínimo); se a<0 abre para baixo (tem máximo). Vou aplicar essas fórmulas com a=2, b=4, c=-6.

Passo 3

Identificando os coeficientes da função dada.
A função é \;f(x)=2x^{2}+4x-6, portanto
a=2,\qquad b=4,\qquad c=-6.
Vou usar esses valores nas fórmulas do passo anterior.

Passo 4

Calcular a interseção com o eixo y.
f(0)=2\cdot 0^{2}+4\cdot 0-6=-6.
Logo o ponto de interseção com o eixo y é (0,-6).
Explicação prática: "onde corta o eixo y" significa avaliar a função em x=0.

Passo 5

Calcular as interseções com o eixo x (as raízes).
Primeiro calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot 2\cdot(-6)=16+48=64.
Como \Delta=64\ge 0, há duas raízes reais distintas. Agora uso a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm 8}{4}.
Calculando cada uma:
x_{1}=\frac{-4+8}{4}=\frac{4}{4}=1, \qquad x_{2}=\frac{-4-8}{4}=\frac{-12}{4}=-3.
Portanto os pontos de interseção com o eixo x são (-3,0) e (1,0).
Pequena interpretação: esses são os valores de x onde o gráfico cruza o eixo horizontal.

Passo 6

Calcular o vértice (ponto de mínimo ou máximo).
A abscissa do vértice é
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1.
A ordenada é y_{v}=f(-1). Calculo:
f(-1)=2(-1)^{2}+4(-1)-6=2\cdot 1-4-6=2-4-6=-8.
Logo o vértice é (-1,-8).
Interpretação: como a=2>0, a parábola abre para cima e o vértice é um ponto de mínimo.

Passo 7

Expressão em forma de vértice (completar o quadrado) — isso ajuda a entender o deslocamento e confirmar o vértice.
Começo por fatorar a dos termos quadráticos:
f(x)=2x^{2}+4x-6=2\bigl(x^{2}+2x\bigr)-6.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1. Substituo:
f(x)=2\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)-6=2(x+1)^{2}-2-6=2(x+1)^{2}-8.
Assim a forma canônica é
f(x)=2(x+1)^{2}-8,
o que deixa explícito que o vértice é em x=-1 e y=-8 (confirma o resultado do passo anterior). Também fica claro que a parábola está deslocada para a esquerda de 1 unidade e para baixo de 8 unidades, com “abertura” controlada pelo fator 2.

Passo 8

Pontos auxiliares e simetria para o esboço.
  • O eixo de simetria é x=-1. Observação prática: as raízes -3 e 1 têm o ponto médio -1, que é justamente a abscissa do vértice; isso confirma a simetria.
  • Pontos já conhecidos para plotar: (-3,0), (-1,-8) (vértice), (1,0), (0,-6).
  • Para reforçar o formato, calculo um ponto à direita do vértice simétrico ao ponto (0,-6). Por exemplo, x=2:
f(2)=2\cdot 2^{2}+4\cdot 2-6=8+8-6=10,
logo (2,10). Pelo eixo de simetria, x=-4 também dá f(-4)=10, confirmando a simetria.
  • Com esses pontos e sabendo que a parábola abre para cima, já tenho o esboço: curva suave passando por (-3,0), descendo até o mínimo em (-1,-8), subindo passando por (1,0) e continuando para valores altos de y à medida que |x| cresce.

Passo 9

Instruções práticas para esboçar no papel (o “mapa” do desenho):
  1. Marcar o ponto (-1,-8) (vértice).
  2. Desenhar a reta vertical x=-1 como eixo de simetria (opcional, só para referência).
  3. Marcar os interceptos (-3,0) e (1,0) no eixo x.
  4. Marcar o intercepto (0,-6) e, se desejar, os pontos (-4,10) e (2,10) para ter ideia do crescimento.
  5. Desenhar uma curva suave, simétrica em relação a x=-1, que passa pelos pontos marcados e que abre para cima (como uma tigela voltada para cima).

Resposta

Interseções com o eixo x: (-3,0) e (1,0)
Interseção com o eixo y: (0,-6)
Vértice: (-1,-8)
Eixo de simetria: x=-1
A parábola abre para cima (pois a=2>0).

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