Questão 4: (5 pontos)
Esboce o gráfico da função:
Para isso, determine os pontos onde o gráfico da
corta os eixos cartesianos.
Observe que esta função aparece no exercício anterior. 😉
Esboce o gráfico da função:
Observe que esta função aparece no exercício anterior. 😉
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu esboce o gráfico dela. Para isso é solicitado, explicitamente, que eu determine os pontos onde o gráfico corta os eixos cartesianos. Dados relevantes fornecidos:
- A expressão de
é . - O que preciso encontrar: os pontos de interseção com o eixo
(raízes ou zeros da função) e com o eixo (valor de em ).
Observação: vou também encontrar o vértice, o eixo de simetria e alguns pontos auxiliares para poder esboçar o gráfico com segurança.
Passo 2
Entendendo o que precisamos calcular (fórmulas que vou usar).
- Interseção com o eixo
: é simplesmente . Vou explicar: o eixo tem , então o ponto é . - Interseção com o eixo
: são os tais que . Para resolver usarei a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara), que dá as raízes de uma equação do tipo :
onde
(o discriminante) é
Explicando as letras: em
,
é o coeficiente de
,
é o coeficiente de
e
é o termo constante.
- Vértice e eixo de simetria: para uma função quadrática
, a abscissa do vértice é
e a ordenada do vértice é
. O eixo de simetria é a reta vertical
.
- Sinal de
determina sentido da concavidade: se a parábola abre para cima (tem mínimo); se abre para baixo (tem máximo). Vou aplicar essas fórmulas com , , .
Passo 3
Identificando os coeficientes da função dada.
A função é , portanto
A função é
Vou usar esses valores nas fórmulas do passo anterior.
Passo 4
Calcular a interseção com o eixo
.
Logo o ponto de interseção com o eixo
é
.
Explicação prática: "onde corta o eixo " significa avaliar a função em
.
Explicação prática: "onde corta o eixo
Passo 5
Calcular as interseções com o eixo
(as raízes).
Primeiro calculo o discriminante:
Primeiro calculo o discriminante:
Como
, há duas raízes reais distintas. Agora uso a fórmula:
Calculando cada uma:
Portanto os pontos de interseção com o eixo
são
e
.
Pequena interpretação: esses são os valores de onde o gráfico cruza o eixo horizontal.
Pequena interpretação: esses são os valores de
Passo 6
Calcular o vértice (ponto de mínimo ou máximo).
A abscissa do vértice é
A abscissa do vértice é
A ordenada é
. Calculo:
Logo o vértice é
.
Interpretação: como , a parábola abre para cima e o vértice é um ponto de mínimo.
Interpretação: como
Passo 7
Expressão em forma de vértice (completar o quadrado) — isso ajuda a entender o deslocamento e confirmar o vértice.
Começo por fatorar dos termos quadráticos:
Começo por fatorar
Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
. Substituo:
Assim a forma canônica é
o que deixa explícito que o vértice é em
e
(confirma o resultado do passo anterior). Também fica claro que a parábola está deslocada para a esquerda de
unidade e para baixo de
unidades, com “abertura” controlada pelo fator
.
Passo 8
Pontos auxiliares e simetria para o esboço.
- O eixo de simetria é
. Observação prática: as raízes e têm o ponto médio , que é justamente a abscissa do vértice; isso confirma a simetria. - Pontos já conhecidos para plotar:
, (vértice), , . - Para reforçar o formato, calculo um ponto à direita do vértice simétrico ao ponto
. Por exemplo, :
logo
. Pelo eixo de simetria,
também dá
, confirmando a simetria.
- Com esses pontos e sabendo que a parábola abre para cima, já tenho o esboço: curva suave passando por
, descendo até o mínimo em , subindo passando por e continuando para valores altos de à medida que cresce.
Passo 9
Instruções práticas para esboçar no papel (o “mapa” do desenho):
- Marcar o ponto
(vértice). - Desenhar a reta vertical
como eixo de simetria (opcional, só para referência). - Marcar os interceptos
e no eixo . - Marcar o intercepto
e, se desejar, os pontos e para ter ideia do crescimento. - Desenhar uma curva suave, simétrica em relação a
, que passa pelos pontos marcados e que abre para cima (como uma tigela voltada para cima).
Resposta
Interseções com o eixo
:
e
Interseção com o eixo :
Vértice:
Eixo de simetria:
A parábola abre para cima (pois ).
Interseção com o eixo
Vértice:
Eixo de simetria:
A parábola abre para cima (pois