Questão 5 - Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
b) 1 falha;
b) 1 falha;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidades usando a distribuição de Poisson. O enunciado diz que, numa fábrica, as máquinas têm uma média de 4 falhas por semana. Queremos saber qual é a probabilidade de, em uma semana específica, ter exatamente 1 falha. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente uns dos outros. A fórmula é:
Onde:
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrências (neste caso, 4 falhas por semana).
- $ k $ é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade (neste caso, 1 falha).
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Temos $ \lambda = 4 $ e $ k = 1 $. Vamos calcular passo a passo:
- Calcular $ \lambda^k = 4^1 = 4 $.
- Calcular $ e^{-\lambda} = e^{-4} $. Aproximadamente, $ e^{-4} \approx 0,0183 $.
- Calcular $ k! = 1! = 1 $.
- Agora, substituir na fórmula:
Resposta
A probabilidade de ocorrer exatamente 1 falha em uma semana é de aproximadamente 7,32%.