Questão 5) Um fabricante fabrica antenas com ganhos de 15 \mathrm{dBi}, 20 \mathrm{dBi}, 27,5 \mathrm{dBi}, 40,4 \mathrm{dBi}, 42,9 \mathrm{dBi}, 44,8 \mathrm{dBi}, 46,1 \mathrm{dBi}, 47,7 \mathrm{dBi} e 48,1 \mathrm{dBi}. Um projetista precisa escolher dentre as antenas com os ganhos descritos, uma transmissora e outra receptora para um enlace de microondas visando o menor custo. O enlace é de 40 Km de extensão, funciona na frequência de 3 GHz e a potência do transmissor é de 10 W. Quais serāo os ganhos das duas antenas que o projetista irá escolher para que a potência recebida seja superior à - 70 dBW? Justifique sua resposta e considere que o ganho é proporcional ao diâmetro da antena e que o preço da antena aumenta com o quadrado do diâmetro da mesma. (6 pontos)

Passo 1

O enunciado apresenta um enlace de micro-ondas de R=40\\ \text{km} a f=3\\ \text{GHz}, potência de transmissão P_t=10\\ \text{W} e pede que escolhamos entre as antenas de ganho listado uma transmissora e uma receptora de modo que a potência recebida seja P_r>-70\\ \text{dBW}. Sabemos que, em enlaces livres, usamos a equação de Friis em decibéis e que o custo de cada antena cresce com o quadrado do seu diâmetro, sendo o ganho proporcional ao diâmetro. Logo, \text{custo}\propto D^2 e G\propto D implicam \text{custo}\propto G^2.

Passo 2

Convertendo P_t para decibéis: \!P_{t,\mathrm{dBW}}=10\log_{10}(10\\ \text{W})=10\\ \text{dBW}.
O fator de perda no espaço livre é
\!L_{\mathrm{fs}}=20\log_{10}\!\Bigl(\frac{4\pi R}{\lambda}\Bigr)\,,
com \lambda=c/f=0,1\\ \text{m} e R=4\times10^4\\ \text{m}, resultando em
\!L_{\mathrm{fs}}\approx20\log_{10}(4\pi\cdot4\times10^5)\approx134{,}0\\ \text{dB}.

Passo 3

A condição para P_r>-70\\ \text{dBW} é, em decibéis,
P_{r,\mathrm{dBW}} = P_{t,\mathrm{dBW}} + G_t + G_r - L_{\mathrm{fs}} \ge -70.
Substituindo P_{t,\mathrm{dBW}}=10\\ \text{dBW} e L_{\mathrm{fs}}\approx134{,}0\\ \text{dB}
G_t + G_r \ge -70 - 10 + 134{,}0 = 54{,}0\\ \text{dBi}.

Passo 4

Listando os ganhos disponíveis em ordem crescente:
15,\;20,\;27{,}5,\;40{,}4,\;42{,}9,\;44{,}8,\;46{,}1,\;47{,}7,\;48{,}1\\ \text{dBi}.
Precisamos escolher G_t e G_r tais que
G_t + G_r \ge 54{,}0.

Passo 5

Como \text{custo}\propto G^2, queremos minimizar
C \propto G_t^2 + G_r^2
sujeito a G_t+G_r\ge54{,}0. Testamos os pares de menores ganhos que atinjam esta soma:
  • 27{,}5 + 27{,}5 = 55{,}0, com C\propto2\,(27{,}5)^2=2\cdot756{,}25=1512{,}5.
  • 15 + 40{,}4 = 55{,}4, com C\propto15^2+40{,}4^2=225+1632{,}16=1857{,}16.
  • 20 + 40{,}4 = 60{,}4, com C\propto20^2+40{,}4^2=400+1632{,}16=2032{,}16.
O menor C ocorre para 27{,}5 + 27{,}5.

Resposta

O projetista deverá escolher antenas de 27{,}5\\ \text{dBi} tanto a transmissora quanto a receptora.

Exercícios relacionados