Questão 2 (Fatoração de Polinômio):
Fatore o polinômio, sabendo que ele possui uma raiz tripla em x=1 :
x^4-3 x^3+2 x^2+2 x-2

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=x^4-3x^3+2x^2+2x-2
e afirma que ele tem uma raiz tripla em x=1. O conteúdo é fatoração de polinômio e multiplicidade de raiz. Para resolver, primeiro verificamos se x=1 é raiz e depois checamos sua multiplicidade usando a derivada.

Passo 2

Testamos f(1):
f(1)=1-3+2+2-2=0,
logo x=1 é de fato raiz de f.

Passo 3

Para saber a multiplicidade, calculamos f'(x):
f'(x)=4x^3-9x^2+4x+2
Então
f'(1)=4-9+4+2=1neq0
Como f'(1) é não nulo, a raiz x=1 é simples (multiplicidade 1), não tripla.

Passo 4

Concluímos que o enunciado está incorreto ao afirmar raiz tripla em x=1. A raiz em x=1 tem multiplicidade 1.

Passo 5

Fatoramos f(x) dividindo por (x-1) via divisão sintética:
coeficientes de f: 1,,-3,,2,,2,,-2
através de x=1 obtemos quociente x^3-2x^2+0x+2.
Assim
f(x)=(x-1)l(x^3-2x^2+2r)

Resposta

Não existe fatoração com raiz tripla em x=1, pois a multiplicidade de x=1 é 1.
A fatoração correta é
f(x)=(x-1)l(x^3-2x^2+2r)

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