Questão 1:
a) Faz sentido dizer que um vetor é negativo? Justifique.
b) Faz sentido dizer que um vetor é o negativo de outro vetor? Justifique sua resposta e diga se ela contradiz a sua resposta na letra (a).
c) É possível que o módulo de um vetor seja nulo (zero) mesmo tendo componentes não nulas? Justifique, matematicamente, sua resposta.
d) Considere que
e que, além disso,
. O que pode ser dito (corretamente) sobre a direção e o sentido dos vetores
e
?
e) Considere que os vetores
e
sejam não nulos e que um aluno encontrou
e
. É possível que a conta deste aluno esteja correta? Se sim, justifique matematicamente. Se não, justifique matematicamente.
f) Quais das seguintes operações matemáticas são legítimas (permitidas pelas regras de multiplicação entre vetores):
f.1)
f.2)
f.3)
f.4)
f.5)
b) Faz sentido dizer que um vetor é o negativo de outro vetor? Justifique sua resposta e diga se ela contradiz a sua resposta na letra (a).
c) É possível que o módulo de um vetor seja nulo (zero) mesmo tendo componentes não nulas? Justifique, matematicamente, sua resposta.
d) Considere que
e) Considere que os vetores
f) Quais das seguintes operações matemáticas são legítimas (permitidas pelas regras de multiplicação entre vetores):
f.1)
f.2)
f.3)
f.4)
f.5)
Passo 1
O enunciado explora conceitos básicos de álgebra vetorial: a) se faz sentido falar em “vetor negativo”; b) se faz sentido falar em “vetor é o negativo de outro”; c) se pode ter módulo nulo com componentes não nulas; d) o que significa
junto com
; e) se é possível ter simultaneamente
e
para vetores não nulos; f) quais produtos entre vetores são legítimos. Vamos usar definições de vetores (módulo, direção, sentido), desigualdade triangular, produto escalar, produto vetorial e regras de associatividade.
Passo 2
a) Um vetor não tem “sinal” no sentido de positivo ou negativo como um número escalar: seu módulo
é sempre não negativo, e falar que
é “negativo” não faz sentido porque não há ordem natural em
. Só faz sentido falar em sinal dos componentes escalares de um vetor, não do vetor como um todo.
Passo 3
b) Faz sentido dizer que um vetor é o negativo de outro, pois todo vetor
tem elemento inverso
tal que
Esse “negativo” é apenas o vetor de mesma magnitude e sentido oposto. Não contradiz (a), porque ali negamos falar que
é “negativo em si”, mas aqui definimos o operador “
” como inverso aditivo.
Passo 4
c) Por definição de módulo
Essa raiz é zero se e somente se cada componente
. Logo não é possível ter
com algum
.
Passo 5
d) Se
e ao mesmo tempo
(módulos somados), pela desigualdade triangular temos sempre
e a igualdade só ocorre quando
e
são colineares e têm o mesmo sentido. Portanto
e
apontam exatamente na mesma direção e sentido.
Passo 6
e)
implica
, ou seja
(vetores ortogonais). Já
implica
, ou seja
ou
(vetores paralelos). Essas duas condições só podem ser simultaneamente verdadeiras se um dos vetores for nulo, o que contradiz a hipótese de vetores não nulos. Portanto o aluno não pode estar correto.
Passo 7
f) Avaliando cada operação:
f.1) é produto escalar entre dois vetores, portanto legítimo.
f.2) é produto vetorial entre dois vetores, portanto legítimo.
f.3) é o triplo escalar, legítimo.
f.4) está sem parênteses: o produto vetorial não é associativo, então essa notação é ambígua e não é permitida sem definir ordem.
f.5) tenta cruzar um vetor com um escalar (
é escalar), e o produto vetorial só está definido entre vetores, logo ilegítimo.
f.1)
f.2)
f.3)
f.4)
f.5)
Resposta
a) Não, vetores não têm sinal “positivo/negativo” como escalares; só seus componentes.
b) Sim, “ ” é o vetor inverso de
. Não contraria (a) porque ali falávamos de sinal do vetor em si, aqui de inverso aditivo.
c) Não. implica todos os componentes
.
d) e
são colineares e têm o mesmo sentido.
e) Não, contratos: exige
, e
exige
ou
.
f.1) Legítima.
f.2) Legítima.
f.3) Legítima.
f.4) Ilegítima (ambígua sem parênteses).
f.5) Ilegítima (cruzamento com escalar não definido).
b) Sim, “
c) Não.
d)
e) Não, contratos:
f.1) Legítima.
f.2) Legítima.
f.3) Legítima.
f.4) Ilegítima (ambígua sem parênteses).
f.5) Ilegítima (cruzamento com escalar não definido).