Questão 1:

a) Faz sentido dizer que um vetor é negativo? Justifique.
b) Faz sentido dizer que um vetor é o negativo de outro vetor? Justifique sua resposta e diga se ela contradiz a sua resposta na letra (a).
c) É possível que o módulo de um vetor seja nulo (zero) mesmo tendo componentes não nulas? Justifique, matematicamente, sua resposta.
d) Considere que \vec{C}=\vec{A}+\vec{B} e que, além disso, C=A+B. O que pode ser dito (corretamente) sobre a direção e o sentido dos vetores \vec{A} e \vec{B} ?
e) Considere que os vetores \vec{A} e \vec{B} sejam não nulos e que um aluno encontrou \vec{A} \cdot \vec{B}=0 e |\vec{A} \times \vec{B}|=0. É possível que a conta deste aluno esteja correta? Se sim, justifique matematicamente. Se não, justifique matematicamente.
f) Quais das seguintes operações matemáticas são legítimas (permitidas pelas regras de multiplicação entre vetores):
f.1) \vec{A} \cdot(\vec{B}-\vec{C})
f.2) \vec{C} \times(\vec{A}+\vec{B})
f.3) \vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})
f.4) \vec{A} \times \vec{B} \times \vec{C}
f.5) \vec{A} \times(\vec{B} \cdot \vec{C})

Passo 1

O enunciado explora conceitos básicos de álgebra vetorial: a) se faz sentido falar em “vetor negativo”; b) se faz sentido falar em “vetor é o negativo de outro”; c) se pode ter módulo nulo com componentes não nulas; d) o que significa \vec C=\vec A+\vec B junto com C=A+B; e) se é possível ter simultaneamente \vec A\cdot\vec B=0 e \lvert\vec A\times\vec B\rvert=0 para vetores não nulos; f) quais produtos entre vetores são legítimos. Vamos usar definições de vetores (módulo, direção, sentido), desigualdade triangular, produto escalar, produto vetorial e regras de associatividade.

Passo 2

a) Um vetor não tem “sinal” no sentido de positivo ou negativo como um número escalar: seu módulo \lvert\vec v\rvert é sempre não negativo, e falar que \vec v é “negativo” não faz sentido porque não há ordem natural em \mathbb R^n. Só faz sentido falar em sinal dos componentes escalares de um vetor, não do vetor como um todo.

Passo 3

b) Faz sentido dizer que um vetor é o negativo de outro, pois todo vetor \vec A tem elemento inverso -\vec A tal que
\vec A + \bigl(-\vec A\bigr) = \vec 0.
Esse “negativo” é apenas o vetor de mesma magnitude e sentido oposto. Não contradiz (a), porque ali negamos falar que \vec A é “negativo em si”, mas aqui definimos o operador “ -” como inverso aditivo.

Passo 4

c) Por definição de módulo
\lvert\vec v\rvert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}.
Essa raiz é zero se e somente se cada componente v_i=0. Logo não é possível ter \lvert\vec v\rvert=0 com algum v_i\neq0.

Passo 5

d) Se \vec C=\vec A+\vec B e ao mesmo tempo C=A+B (módulos somados), pela desigualdade triangular temos sempre
C = \lvert\vec A+\vec B\rvert \le A + B,
e a igualdade só ocorre quando \vec A e \vec B são colineares e têm o mesmo sentido. Portanto \vec A e \vec B apontam exatamente na mesma direção e sentido.

Passo 6

e) \vec A\cdot\vec B=0 implica \cos\theta=0, ou seja \theta=90^\circ (vetores ortogonais). Já
\lvert\vec A\times\vec B\rvert =A\,B\sin\theta=0
implica \sin\theta=0, ou seja \theta=0^\circ ou 180^\circ (vetores paralelos). Essas duas condições só podem ser simultaneamente verdadeiras se um dos vetores for nulo, o que contradiz a hipótese de vetores não nulos. Portanto o aluno não pode estar correto.

Passo 7

f) Avaliando cada operação:
f.1) \vec A\cdot(\vec B-\vec C) é produto escalar entre dois vetores, portanto legítimo.
f.2) \vec C\times(\vec A+\vec B) é produto vetorial entre dois vetores, portanto legítimo.
f.3) \vec A\cdot(\vec B\times\vec C) é o triplo escalar, legítimo.
f.4) \vec A\times\vec B\times\vec C está sem parênteses: o produto vetorial não é associativo, então essa notação é ambígua e não é permitida sem definir ordem.
f.5) \vec A\times(\vec B\cdot\vec C) tenta cruzar um vetor com um escalar ( \vec B\cdot\vec C é escalar), e o produto vetorial só está definido entre vetores, logo ilegítimo.

Resposta

a) Não, vetores não têm sinal “positivo/negativo” como escalares; só seus componentes.
b) Sim, “ -\vec A” é o vetor inverso de \vec A. Não contraria (a) porque ali falávamos de sinal do vetor em si, aqui de inverso aditivo.
c) Não. \lvert\vec v\rvert=0 implica todos os componentes v_i=0.
d) \vec A e \vec B são colineares e têm o mesmo sentido.
e) Não, contratos: \vec A\cdot\vec B=0 exige \theta=90^\circ, e \lvert\vec A\times\vec B\rvert=0 exige \theta=0^\circ ou 180^\circ.
f.1) Legítima.
f.2) Legítima.
f.3) Legítima.
f.4) Ilegítima (ambígua sem parênteses).
f.5) Ilegítima (cruzamento com escalar não definido).

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