Mostre que, se \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}, então
C^{2}=A^{2}+B^{2}-2 A B \cos \theta
onde \theta é o ângulo entre os vetores \vec{A} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados os vetores \vec{A} e \vec{B} com ângulo entre eles igual a \theta, e definindo \vec{C} = \vec{A} - \vec{B}, vale a relação
C^{2} \;=\; A^{2} + B^{2} - 2\,A\,B\,\cos\theta
onde A=\|\vec{A}\|, B=\|\vec{B}\| e C=\|\vec{C}\|.
Conteúdo principal: produto escalar, bilinearidade e relação com o cosseno do ângulo.

Passo 2

Usamos a definição de norma ao quadrado em termos de produto escalar:
C^{2} = \|\vec{C}\|^{2} = \vec{C}\cdot\vec{C}.
Como \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}, substituímos:
\vec{C}\cdot\vec{C} = (\vec{A}-\vec{B})\cdot(\vec{A}-\vec{B}).

Passo 3

Pela bilinearidade e comutatividade do produto escalar, expandimos:
(\vec{A}-\vec{B})\cdot(\vec{A}-\vec{B}) = \vec{A}\cdot\vec{A} - \vec{A}\cdot\vec{B} - \vec{B}\cdot\vec{A} + \vec{B}\cdot\vec{B} = \|\vec{A}\|^{2} + \|\vec{B}\|^{2} - 2\,\vec{A}\cdot\vec{B}.
Logo, até aqui,
C^{2} = A^{2} + B^{2} - 2\,\vec{A}\cdot\vec{B}.

Passo 4

Falta usar a definição do produto escalar pelo ângulo entre vetores:
\vec{A}\cdot\vec{B} = \|\vec{A}\|\,\|\vec{B}\|\,\cos\theta = A\,B\,\cos\theta.
Substituindo em C^{2} resulta
C^{2} = A^{2} + B^{2} - 2\,(A\,B\,\cos\theta),
que é exatamente a fórmula desejada.

Resposta

C^{2} = A^{2} + B^{2} - 2\,A\,B\,\cos\theta.

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