Mostre que, se
, então
onde
é o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados os vetores
e
com ângulo entre eles igual a
, e definindo
, vale a relação
onde
,
e
.
Conteúdo principal: produto escalar, bilinearidade e relação com o cosseno do ângulo.
Conteúdo principal: produto escalar, bilinearidade e relação com o cosseno do ângulo.
Passo 2
Usamos a definição de norma ao quadrado em termos de produto escalar:
Como
, substituímos:
Passo 3
Pela bilinearidade e comutatividade do produto escalar, expandimos:
Logo, até aqui,
Passo 4
Falta usar a definição do produto escalar pelo ângulo entre vetores:
Substituindo em
resulta
que é exatamente a fórmula desejada.