Um arremessador atira uma bola para cima com velocidade inicial de 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
  • o intervalo de tempo para a bola atingir o ponto máximo.
  • a altura máxima atingida pela bola.
  • o(s) intervalo(s) de tempo para a bola estar a 25 m do ponto de lançamento?

Passo 1

O enunciado descreve uma bola lançada verticalmente para cima com velocidade inicial \,v_0 = 25\mathrm{\,m/s}, sujeita apenas à aceleração da gravidade \,a = -9{,}8\mathrm{\,m/s^2}. Precisamos usar as fórmulas do movimento uniformemente variado em uma dimensão:
v(t) = v_0 + a\,t
y(t) = v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2
para encontrar:
  1. O instante em que a velocidade é zero \,v(t)=0, que corresponde ao ponto máximo.
  2. A altura máxima, substituindo esse instante em y(t).
  3. Os instantes em que y(t)=25\mathrm{\,m}, resolvendo a equação quadrática resultante.

Passo 2

Para achar o tempo em que a bola atinge o ponto máximo, fazemos
v(t) = v_0 + a\,t = 0
isto é,
25 - 9{,}8\,t = 0
t = \frac{25}{9{,}8} \approx 2{,}55\mathrm{\,s}

Passo 3

A altura máxima vem de
y(t_{\max}) = v_0\,t_{\max} + \tfrac12\,a\,t_{\max}^2
Substituindo t_{\max}=25/9{,}8:
y_{\max} = 25\cdot\frac{25}{9{,}8} \;+\;\tfrac12(-9{,}8)\Bigl(\frac{25}{9{,}8}\Bigr)^2 = \frac{25^2}{2\cdot9{,}8} \approx 31{,}89\mathrm{\,m}

Passo 4

Para achar os instantes em que a bola está a 25\mathrm{\,m}, resolvemos
y(t) = 25\,t - \tfrac12\cdot9{,}8\,t^2 = 25
4{,}9\,t^2 - 25\,t + 25 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{25 \pm \sqrt{25^2 - 4\cdot4{,}9\cdot25}}{2\cdot4{,}9} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 490}}{9{,}8} = \frac{25 \pm \sqrt{135}}{9{,}8}
t_1 \approx \frac{25 - 11{,}62}{9{,}8} \approx 1{,}36\mathrm{\,s}, \quad t_2 \approx \frac{25 + 11{,}62}{9{,}8} \approx 3{,}74\mathrm{\,s}

Resposta

(a) t_{\max} \approx 2{,}55\mathrm{\,s}
(b) y_{\max} \approx 31{,}89\mathrm{\,m}
(c) A bola está a 25\mathrm{\,m} nos instantes t_1 \approx 1{,}36\mathrm{\,s} e t_2 \approx 3{,}74\mathrm{\,s}.

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