Questão 1

Um filamento de corrente de 5,0 A na direção \mathrm{a}_{y} é paralelo ao eixo x em x=2 \mathrm{~m} e z=-2 \mathrm{~m}. Calcule o campo magnético H na origem.

Passo 1

O enunciado tem um fio infinito que transporta corrente I=5{,}0,A no sentido de \mathbf{a}_{y} e está deslocado para a posição x=2,m, z=-2,m. Queremos calcular o campo magnético \mathbf{H} no ponto de coordenadas (0,0,0). O método mais direto é usar a expressão para um fio infinito paralelo ao eixo y:
\|\mathbf{H}\| \;=\;\frac{I}{2\pi\,\rho},
onde \rho é a distância do fio ao ponto.

Passo 2

Para achar \rho, note que o fio passa por qualquer ponto (2,y,-2). No ponto de interesse (0,0,0), o vetor de posição relativo ao fio é
\boldsymbol\rho =\,(0-2)\,\mathbf a_{x}+(0-(-2))\,\mathbf a_{z} =-2\,\mathbf a_{x}+2\,\mathbf a_{z}.
Logo,
\rho=\|\boldsymbol\rho\| =\sqrt{(-2)^2+(2)^2} =\sqrt{8} =2\sqrt2\\ \text{m}.

Passo 3

A magnitude do campo é
\|\mathbf H\| =\frac{I}{2\pi\,\rho} =\frac{5}{2\pi\,(2\sqrt2)} =\frac{5}{4\sqrt2\,\pi}\\ \text{A/m}.

Passo 4

Para determinar a direção, usamos o versor azimutal em torno do eixo y:
\mathbf a_{\rho} =\frac{\boldsymbol\rho}{\rho} =\frac{-2\,\mathbf a_{x}+2\,\mathbf a_{z}}{2\sqrt2} =\frac{-\mathbf a_{x}+\mathbf a_{z}}{\sqrt2},
\mathbf a_{\varphi} =\mathbf a_{y}\times\mathbf a_{\rho} =\frac{\mathbf a_{y}\times(-\mathbf a_{x}+\mathbf a_{z})}{\sqrt2} =\frac{a_{z}+a_{x}}{\sqrt2}.

Passo 5

O campo vetorial fica
\mathbf H =\|\mathbf H\|\;\mathbf a_{\varphi} =\frac{5}{4\sqrt2\,\pi}\;\frac{\mathbf a_{x}+\mathbf a_{z}}{\sqrt2} =\frac{5}{8\pi}\,(\mathbf a_{x}+\mathbf a_{z})\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf H = \frac{5}{8\pi}\,(\mathbf a_{x}+\mathbf a_{z})\\ \mathrm{A/m}

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