Questão 1: Dois prótons, de massas m_{p} e cargas +e, são liberados do repouso quando estão à distância d=0,80 \mathrm{~mm} um do outro e se afastam continuamente. Calcule:
(a) a velocidade de cada próton como função da distância;
(b) a velocidade máxima que eles atingirão e em que posição isso ocorrerá.

Passo 1

O enunciado diz: dois prótons (cada um com massa \,m_{p}\, e carga +e) estão inicialmente em repouso separados por uma distância \,d=0{,}80\\ \mathrm{mm}\, e são liberados, afastando-se um do outro. Pedidos:
(a) obter a velocidade de cada próton como função da distância entre eles;
(b) achar a velocidade máxima que cada um atingirá e em que posição isso ocorre.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
d=0{,}80\\ \mathrm{mm}=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Também usaremos constantes conhecidas (valores numéricos que usarei para o resultado final):
k\approx8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},\quad e\approx1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad m_{p}\approx1{,}673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Entendimento físico e princípio que vamos usar (aula rápida):
  • Prótons são cargas pontuais iguais e positivas; a energia potencial elétrica entre duas cargas puntiformes q_{1} e q_{2} separadas por distância r é dada por
U(r)=\frac{k\,q_{1}q_{2}}{r}.
Aqui q_{1}=q_{2}=+e, então \;U(r)=\dfrac{k e^{2}}{r}.
  • Conservação da energia mecânica: a energia potencial inicial se transforma em energia cinética à medida que as partículas se afastam (não há forças dissipativas). Assim:
\text{energia inicial}=\text{energia final} \quad\Longrightarrow\quad U(d)=U(r)+K_{\text{total}}(r).
  • Conservação do momento linear: inicialmente as partículas estão em repouso (momento total zero). A força entre elas é interna e as massas são iguais, logo os momentos continuem opostos e de mesma magnitude. Portanto, as velocidades têm mesma magnitude em sinais opostos; se chamarmos a magnitude da velocidade de cada próton de \,v, a energia cinética total é a soma das duas energias cinéticas:
K_{\text{total}}(r)=2\cdot\frac{1}{2}m_{p}v^{2}=m_{p}v^{2}.

Passo 3

Escrever a conservação de energia entre a posição inicial (separação \,d) e uma posição geral (separação \,r\ge d):
\frac{k e^{2}}{d}=\frac{k e^{2}}{r}+m_{p}v^{2}.
Aqui explique detalhadamente cada termo:
  • \dfrac{k e^{2}}{d} é a energia potencial elétrica inicial quando a separação é \,d.
  • \dfrac{k e^{2}}{r} é a energia potencial elétrica quando a separação é \,r.
  • m_{p}v^{2} é a energia cinética total dos dois prótons (cada um com \tfrac{1}{2}m_{p}v^{2}).

Passo 4

Isolar v na expressão da energia:
Subtraindo \dfrac{k e^{2}}{r} de ambos os lados e dividindo por m_{p},
v^{2}=\frac{1}{m_{p}}\left(\frac{k e^{2}}{d}-\frac{k e^{2}}{r}\right).
Fatorando k e^{2},
v^{2}=\frac{k e^{2}}{m_{p}}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{r}\right).
Tomando raiz quadrada (velocidade positiva, magnitude),
\boxed{\,v(r)=\sqrt{\dfrac{k e^{2}}{m_{p}}\left(\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{r}\right)}\,},
válida para \,r\ge d. Comentário didático: essa fórmula diz que a velocidade cresce à medida que \,r aumenta, porque o termo \dfrac{1}{r} diminui, então a diferença \dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{r} aumenta até um limite.

Passo 5

Interpretação física e limite para velocidade máxima:
  • Quando as partículas se afastam indefinidamente, \,r\to\infty, o termo \dfrac{1}{r}\to0. Assim a velocidade tende a um valor máximo assintótico
v_{\max}=\sqrt{\dfrac{k e^{2}}{m_{p}}\left(\dfrac{1}{d}-0\right)}=\sqrt{\dfrac{k e^{2}}{m_{p}d}}.
  • Sobre “onde” isso ocorre: o máximo é alcançado somente no limite r\to\infty. Na prática, a velocidade se aproxima de v_{\max} à medida que a separação fica muito grande; não existe um ponto finito em que a velocidade seja maior do que isso.

Passo 6

Cálculo numérico do máximo usando os valores dados:
Primeiro converter d:
d=0{,}80\\ \mathrm{mm}=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Usando k\approx8{,}99\times10^{9}, e\approx1{,}602\times10^{-19}, m_{p}\approx1{,}673\times10^{-27}:
v_{\max}=\sqrt{\dfrac{(8{,}99\times10^{9})(1{,}602\times10^{-19})^{2}}{(1{,}673\times10^{-27})(8{,}0\times10^{-4})}}.
Fazendo as contas (mostrando os passos de ordem de grandeza):
(1{,}602\times10^{-19})^{2}=2{,}567\times10^{-38},
(8{,}99\times10^{9})\cdot2{,}567\times10^{-38}=2{,}308\times10^{-28},
(1{,}673\times10^{-27})(8{,}0\times10^{-4})=1{,}338\times10^{-30},
\frac{2{,}308\times10^{-28}}{1{,}338\times10^{-30}}=1{,}726\times10^{2},
v_{\max}=\sqrt{1{,}726\times10^{2}}\approx13{,}14\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente, v_{\max}\approx13{,}1\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) v(r)=\displaystyle\sqrt{\dfrac{k e^{2}}{m_{p}}\left(\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{r}\right)}, válida para r\ge d.\n
(b) v_{\max}=\displaystyle\sqrt{\dfrac{k e^{2}}{m_{p}d}}\approx13{,}1\\ \mathrm{m/s} — ocorre no limite r\to\infty (as partículas afastam-se arbitrariamente).

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