Questão 1: Dois prótons, de massas
e cargas
, são liberados do repouso quando estão à distância
um do outro e se afastam continuamente. Calcule:
(a) a velocidade de cada próton como função da distância;
(b) a velocidade máxima que eles atingirão e em que posição isso ocorrerá.
(a) a velocidade de cada próton como função da distância;
(b) a velocidade máxima que eles atingirão e em que posição isso ocorrerá.
Passo 1
O enunciado diz: dois prótons (cada um com massa
e carga
) estão inicialmente em repouso separados por uma distância
e são liberados, afastando-se um do outro. Pedidos:
(a) obter a velocidade de cada próton como função da distância entre eles;
(b) achar a velocidade máxima que cada um atingirá e em que posição isso ocorre.
(a) obter a velocidade de cada próton como função da distância entre eles;
(b) achar a velocidade máxima que cada um atingirá e em que posição isso ocorre.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Também usaremos constantes conhecidas (valores numéricos que usarei para o resultado final):
Passo 2
Entendimento físico e princípio que vamos usar (aula rápida):
- Prótons são cargas pontuais iguais e positivas; a energia potencial elétrica entre duas cargas puntiformes
e separadas por distância é dada por
Aqui
, então
.
- Conservação da energia mecânica: a energia potencial inicial se transforma em energia cinética à medida que as partículas se afastam (não há forças dissipativas). Assim:
- Conservação do momento linear: inicialmente as partículas estão em repouso (momento total zero). A força entre elas é interna e as massas são iguais, logo os momentos continuem opostos e de mesma magnitude. Portanto, as velocidades têm mesma magnitude em sinais opostos; se chamarmos a magnitude da velocidade de cada próton de
, a energia cinética total é a soma das duas energias cinéticas:
Passo 3
Escrever a conservação de energia entre a posição inicial (separação
) e uma posição geral (separação
):
Aqui explique detalhadamente cada termo:
-
é a energia potencial elétrica inicial quando a separação é . -
é a energia potencial elétrica quando a separação é . -
é a energia cinética total dos dois prótons (cada um com ).
Passo 4
Isolar
na expressão da energia:
Subtraindo de ambos os lados e dividindo por
,
Subtraindo
Fatorando
,
Tomando raiz quadrada (velocidade positiva, magnitude),
válida para
. Comentário didático: essa fórmula diz que a velocidade cresce à medida que
aumenta, porque o termo
diminui, então a diferença
aumenta até um limite.
Passo 5
Interpretação física e limite para velocidade máxima:
- Quando as partículas se afastam indefinidamente,
, o termo . Assim a velocidade tende a um valor máximo assintótico
- Sobre “onde” isso ocorre: o máximo é alcançado somente no limite
. Na prática, a velocidade se aproxima de à medida que a separação fica muito grande; não existe um ponto finito em que a velocidade seja maior do que isso.
Passo 6
Cálculo numérico do máximo usando os valores dados:
Primeiro converter :
Primeiro converter
Usando
,
,
:
Fazendo as contas (mostrando os passos de ordem de grandeza):
Arredondando razoavelmente,
.
Resposta
(a)
, válida para
.\n
(b) — ocorre no limite
(as partículas afastam-se arbitrariamente).
(b)